Номер 2.3, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.3. Используя свойства степени, вычислите:

а) $3^8 : (3^5)^2$;

б) $(\frac{1}{2})^{-9} : (0,5)^{-7} \cdot 4^{-1}$;

в) $1,2^{19} \cdot 1,2^{-18} : 12^0$.

а) $3^8 : (3^5)^2$
Для вычисления данного выражения последовательно применим свойства степеней. Сначала упростим делитель, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^5)^2 = 3^{5 \cdot 2} = 3^{10}$
Теперь выполним деление, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$3^8 : 3^{10} = 3^{8-10} = 3^{-2}$
Наконец, воспользуемся определением степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$.

б) $(\frac{1}{2})^{-9} : (0,5)^{-7} \cdot 4^{-1}$
Для упрощения приведем все основания к одному числу — 2. Учтем, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$. Преобразуем каждый член выражения, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(\frac{1}{2})^{-9} = (2^{-1})^{-9} = 2^{(-1) \cdot (-9)} = 2^9$
$(0,5)^{-7} = (2^{-1})^{-7} = 2^{(-1) \cdot (-7)} = 2^7$
$4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{2 \cdot (-1)} = 2^{-2}$
Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним действия по порядку, используя свойства $a^m : a^n = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^9 : 2^7 \cdot 2^{-2} = 2^{9-7} \cdot 2^{-2} = 2^2 \cdot 2^{-2} = 2^{2+(-2)} = 2^0 = 1$
Ответ: $1$.

в) $1,2^{19} \cdot 1,2^{-18} : 12^0$
Сначала выполним умножение степеней с одинаковым основанием 1,2 по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$1,2^{19} \cdot 1,2^{-18} = 1,2^{19+(-18)} = 1,2^1 = 1,2$
Далее учтем, что любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1: $12^0 = 1$.
Выражение упрощается до деления:
$1,2 : 1 = 1,2$
Представим десятичную дробь 1,2 в виде обыкновенной неправильной дроби и выделим целую часть:
$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$
Ответ: $1\frac{1}{5}$.