Номер 8, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

8. Упростите выражение $ \frac{\cos\alpha - \cos2\alpha - \cos4\alpha + \cos5\alpha}{\sin\alpha - \sin2\alpha - \sin4\alpha + \sin5\alpha} $ и найдите его значение при $ \alpha = \frac{\pi}{18} $.

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала упростить данное тригонометрическое выражение, а затем найти его значение при заданном значении $\alpha$.

Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе исходной дроби для применения формул преобразования суммы в произведение:

$$ \frac{\cos\alpha - \cos2\alpha - \cos4\alpha + \cos5\alpha}{\sin\alpha - \sin2\alpha - \sin4\alpha + \sin5\alpha} = \frac{(\cos5\alpha + \cos\alpha) - (\cos4\alpha + \cos2\alpha)}{(\sin5\alpha + \sin\alpha) - (\sin4\alpha + \sin2\alpha)} $$

Используем следующие тригонометрические тождества:

• Сумма косинусов: $ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $
• Сумма синусов: $ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Преобразуем числитель:

$ (\cos5\alpha + \cos\alpha) - (\cos4\alpha + \cos2\alpha) = 2\cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} - 2\cos\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} $

$ = 2\cos(3\alpha)\cos(2\alpha) - 2\cos(3\alpha)\cos(\alpha) = 2\cos(3\alpha)(\cos(2\alpha) - \cos(\alpha)) $

Аналогично преобразуем знаменатель:

$ (\sin5\alpha + \sin\alpha) - (\sin4\alpha + \sin2\alpha) = 2\sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} - 2\sin\frac{4\alpha+2\alpha}{2}\cos\frac{4\alpha-2\alpha}{2} $

$ = 2\sin(3\alpha)\cos(2\alpha) - 2\sin(3\alpha)\cos(\alpha) = 2\sin(3\alpha)(\cos(2\alpha) - \cos(\alpha)) $

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в дробь:

$$ \frac{2\cos(3\alpha)(\cos(2\alpha) - \cos(\alpha))}{2\sin(3\alpha)(\cos(2\alpha) - \cos(\alpha))} $$

Сократим общий множитель $2(\cos(2\alpha) - \cos(\alpha))$, так как он не равен нулю при данном значении $\alpha$.

$$ \frac{\cos(3\alpha)}{\sin(3\alpha)} = \cot(3\alpha) $$

Ответ: $\cot(3\alpha)$.

Подставим значение $\alpha = \frac{\pi}{18}$ в упрощенное выражение:

$$ \cot(3\alpha) = \cot\left(3 \cdot \frac{\pi}{18}\right) = \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) $$

Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{6}$ (30°) является табличным:

$$ \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} $$

Ответ: $\sqrt{3}$.