Номер 4, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

4. Упростите выражение:

а) $cos(\pi - \alpha) + cos(-\alpha)$;

б) $sin(-\alpha) + cos(\alpha - \frac{\pi}{2});$

в) $tg^2(\pi - \alpha) + sin^2(-\alpha) + sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha).$

а) $cos(\pi - \alpha) + cos(-\alpha)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами приведения и свойством четности функции косинус.

1. Применим формулу приведения для $cos(\pi - \alpha)$. Угол $(\pi - \alpha)$ относится ко второй координатной четверти (если считать $\alpha$ острым углом), где косинус имеет отрицательный знак. Так как в аргументе есть $\pi$, название функции не меняется. Таким образом, $cos(\pi - \alpha) = -cos(\alpha)$.
2. Применим свойство четности для $cos(-\alpha)$. Косинус является четной функцией, поэтому $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$-cos(\alpha) + cos(\alpha) = 0$

Ответ: 0

б) $sin(-\alpha) + cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами нечетности и четности тригонометрических функций, а также формулами приведения.

1. Применим свойство нечетности для $sin(-\alpha)$. Синус является нечетной функцией, поэтому $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$.
2. Преобразуем второе слагаемое $cos(\alpha - \frac{\pi}{2})$. Используя свойство четности косинуса, можно записать: $cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = cos(-(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
3. Далее применим формулу приведения для $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Угол $(\frac{\pi}{2} - \alpha)$ относится к первой координатной четверти, где все тригонометрические функции положительны. Так как в аргументе есть $\frac{\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию. Таким образом, $cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$.

Подставим полученные значения обратно в выражение:

$-sin(\alpha) + sin(\alpha) = 0$

Ответ: 0

в) $tg^2(\pi - \alpha) + sin^2(-\alpha) + sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$

Упростим каждое слагаемое в выражении по отдельности.

1. Для $tg^2(\pi - \alpha)$: Сначала применим формулу приведения к $tg(\pi - \alpha)$. Угол $(\pi - \alpha)$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Название функции не меняется. Значит, $tg(\pi - \alpha) = -tg(\alpha)$. Тогда $tg^2(\pi - \alpha) = (-tg(\alpha))^2 = tg^2(\alpha)$.
2. Для $sin^2(-\alpha)$: Синус — нечетная функция, $sin(-\alpha) = -sin(\alpha)$. Тогда $sin^2(-\alpha) = (-sin(\alpha))^2 = sin^2(\alpha)$.
3. Для $sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$: Применим формулу приведения к $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$. Угол $(\frac{3\pi}{2} - \alpha)$ находится в третьей четверти, где синус отрицателен. Название функции меняется на кофункцию, так как в аргументе есть $\frac{3\pi}{2}$. Значит, $sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -cos(\alpha)$. Тогда $sin^2(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = (-cos(\alpha))^2 = cos^2(\alpha)$.

Соберем все упрощенные части вместе:

$tg^2(\alpha) + sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha)$

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$, выражение упрощается до:

$tg^2(\alpha) + 1$

Используя еще одно тождество, $1 + tg^2(\alpha) = \frac{1}{cos^2(\alpha)}$, получаем окончательный вид.

Ответ: $\frac{1}{cos^2(\alpha)}$