Номер 1.542, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.542. Найдите значение выражения:

a) $ \cos 70^\circ + \sin 140^\circ - \cos 10^\circ; $

б) $ \frac{\sin^2 49^\circ - \cos^2 49^\circ}{\cos 53^\circ - \cos 37^\circ}. $

а) $\cos 70^\circ + \sin 140^\circ - \cos 10^\circ$

Для решения сгруппируем первое и третье слагаемые и применим формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$(\cos 70^\circ - \cos 10^\circ) + \sin 140^\circ = -2 \sin\frac{70^\circ+10^\circ}{2} \sin\frac{70^\circ-10^\circ}{2} + \sin 140^\circ = -2 \sin 40^\circ \sin 30^\circ + \sin 140^\circ$.

Мы знаем, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в выражение:

$-2 \sin 40^\circ \cdot \frac{1}{2} + \sin 140^\circ = -\sin 40^\circ + \sin 140^\circ$.

Теперь применим формулу приведения для $\sin 140^\circ$:

$\sin 140^\circ = \sin(180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$.

Подставив это обратно в выражение, получаем:

$-\sin 40^\circ + \sin 40^\circ = 0$.

Ответ: 0.

б) $\frac{\sin^2 49^\circ - \cos^2 49^\circ}{\cos 53^\circ - \cos 37^\circ}$

Сначала преобразуем числитель. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

$\sin^2 49^\circ - \cos^2 49^\circ = -(\cos^2 49^\circ - \sin^2 49^\circ) = -\cos(2 \cdot 49^\circ) = -\cos(98^\circ)$.

Далее преобразуем знаменатель, используя формулу разности косинусов $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$\cos 53^\circ - \cos 37^\circ = -2 \sin\frac{53^\circ+37^\circ}{2} \sin\frac{53^\circ-37^\circ}{2} = -2 \sin\frac{90^\circ}{2} \sin\frac{16^\circ}{2} = -2 \sin 45^\circ \sin 8^\circ$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{-\cos(98^\circ)}{-2 \sin 45^\circ \sin 8^\circ} = \frac{\cos(98^\circ)}{2 \sin 45^\circ \sin 8^\circ}$.

Применим формулу приведения для $\cos(98^\circ)$:

$\cos(98^\circ) = \cos(90^\circ + 8^\circ) = -\sin 8^\circ$.

Подставим это значение в дробь:

$\frac{-\sin 8^\circ}{2 \sin 45^\circ \sin 8^\circ}$.

Сократим дробь на $\sin 8^\circ$ (так как $\sin 8^\circ \neq 0$):

$-\frac{1}{2 \sin 45^\circ}$.

Мы знаем, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение:

$-\frac{1}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$-\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.