Номер 1.543, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.543. Найдите значение выражения $\sqrt{45 - 11\sqrt{1\frac{1}{4}} + \sqrt{61\frac{1}{4}}}$.

Для того чтобы найти значение выражения $\sqrt{45} - 11\sqrt{1\frac{1}{4}} + \sqrt{61\frac{1}{4}}$, выполним вычисления по шагам.

1. Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби.

   Для удобства вычислений переведем смешанные числа, стоящие под знаками корней, в неправильные дроби:

   $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

   $61\frac{1}{4} = \frac{61 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{244 + 1}{4} = \frac{245}{4}$

   После подстановки выражение принимает вид: $\sqrt{45} - 11\sqrt{\frac{5}{4}} + \sqrt{\frac{245}{4}}$

2. Упрощение корней.

   Теперь упростим каждый член выражения, вынося множители из-под знака корня:

   • $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$
   • $11\sqrt{\frac{5}{4}} = 11 \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} = 11 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{11\sqrt{5}}{2}$
   • $\sqrt{\frac{245}{4}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 5}{4}} = \frac{\sqrt{49} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{4}} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$

3. Вычисление итогового значения.

   Подставим упрощенные значения обратно в выражение:

   $3\sqrt{5} - \frac{11\sqrt{5}}{2} + \frac{7\sqrt{5}}{2}$

   Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{5}$. Вынесем его за скобки:

   $\left(3 - \frac{11}{2} + \frac{7}{2}\right) \cdot \sqrt{5}$

   Выполним действия с коэффициентами в скобках. Приведем их к общему знаменателю 2:

   $\left(\frac{6}{2} - \frac{11}{2} + \frac{7}{2}\right) \cdot \sqrt{5} = \left(\frac{6 - 11 + 7}{2}\right) \cdot \sqrt{5} = \frac{2}{2} \cdot \sqrt{5} = 1 \cdot \sqrt{5} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$.