Номер 1.544, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.544. Найдите произведение корней уравнения $ \frac{x}{x^2 - 25} + \frac{x+4}{x+5} = 0 $.

Для того чтобы найти произведение корней уравнения, сначала необходимо решить само уравнение и найти его корни.

Исходное уравнение:

$$ \frac{x}{x^2 - 25} + \frac{x + 4}{x + 5} = 0 $$

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Следовательно, мы должны исключить значения $x$, которые обращают знаменатели в ноль.

• $x^2 - 25 \neq 0 \implies (x-5)(x+5) \neq 0 \implies x \neq 5$ и $x \neq -5$.
• $x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$.

Таким образом, область допустимых значений: $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

2. Упрощение уравнения.

Для сложения дробей приведём их к общему знаменателю. Заметим, что $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$, что и будет общим знаменателем.

$$ \frac{x}{(x-5)(x+5)} + \frac{(x + 4)(x-5)}{(x + 5)(x-5)} = 0 $$

Теперь сложим дроби:

$$ \frac{x + (x + 4)(x - 5)}{(x-5)(x+5)} = 0 $$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель мы уже учли в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:

$$ x + (x + 4)(x - 5) = 0 $$

Раскроем скобки в произведении $(x+4)(x-5)$:

$$ x + (x^2 - 5x + 4x - 20) = 0 $$

Приведём подобные слагаемые:

$$ x + x^2 - x - 20 = 0 $$

$$ x^2 - 20 = 0 $$

3. Нахождение корней.

Мы получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

$$ x^2 = 20 $$

$$ x = \pm\sqrt{20} $$

Упростим корень: $\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 2\sqrt{5}$ и $x_2 = -2\sqrt{5}$.

4. Проверка корней.

Убедимся, что найденные корни входят в ОДЗ ($x \neq \pm 5$).

• Корень $x_1 = 2\sqrt{5}$. Поскольку $(2\sqrt{5})^2 = 20$, а $5^2=25$, то $2\sqrt{5} \neq 5$. Также очевидно, что $2\sqrt{5} \neq -5$. Корень действителен.
• Корень $x_2 = -2\sqrt{5}$. Поскольку $(-2\sqrt{5})^2 = 20$, а $(-5)^2=25$, то $-2\sqrt{5} \neq -5$. Также очевидно, что $-2\sqrt{5} \neq 5$. Корень действителен.

Оба корня являются решениями исходного уравнения.

5. Нахождение произведения корней.

По условию задачи, нам нужно найти произведение корней $x_1 \cdot x_2$.

$$ x_1 \cdot x_2 = (2\sqrt{5}) \cdot (-2\sqrt{5}) = -4 \cdot (\sqrt{5})^2 = -4 \cdot 5 = -20 $$

Альтернативно, по теореме Виета для уравнения $x^2 - 20 = 0$, произведение корней равно свободному члену $c$, то есть -20.

Произведение корней уравнения Ответ: -20