Номер 6, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

6. Известно, что $\alpha$ и $\beta$ — углы третьей четверти и $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$, $\sin\beta = -\frac{4}{5}$.

Найдите $\sin(\alpha - \beta)$.

Для того чтобы найти значение выражения $ \sin(\alpha - \beta) $, воспользуемся тригонометрической формулой синуса разности:

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

В этой формуле нам известны $ \cos\alpha = -\frac{12}{13} $ и $ \sin\beta = -\frac{4}{5} $. Нам необходимо найти значения $ \sin\alpha $ и $ \cos\beta $.

Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $.

1. Нахождение $ \sin\alpha $

Из основного тригонометрического тождества выразим $ \sin\alpha $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha $

Подставим известное значение $ \cos\alpha $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $

Отсюда $ \sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} $.

По условию, угол $ \alpha $ находится в третьей четверти, где значения синуса отрицательны. Следовательно, выбираем знак "минус":

$ \sin\alpha = -\frac{5}{13} $

2. Нахождение $ \cos\beta $

Аналогично, из основного тригонометрического тождества выразим $ \cos\beta $:

$ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta $

Подставим известное значение $ \sin\beta $:

$ \cos^2\beta = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} $

Отсюда $ \cos\beta = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $.

По условию, угол $ \beta $ также находится в третьей четверти, где значения косинуса отрицательны. Следовательно, выбираем знак "минус":

$ \cos\beta = -\frac{3}{5} $

3. Вычисление $ \sin(\alpha - \beta) $

Теперь, когда все компоненты известны, подставим их в формулу синуса разности:

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

$ \sin(\alpha - \beta) = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) $

Выполним умножение:

$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{15}{65} - \frac{48}{65} $

Выполним вычитание:

$ \sin(\alpha - \beta) = \frac{15 - 48}{65} = -\frac{33}{65} $

Найдите sin(α − β). Ответ: $-\frac{33}{65}$.