Номер 10, страница 159 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

10. Найдите абсциссы точек пересечения прямой $y = -1$ и графика функции $y = \sin x + \cos x$.

Для нахождения абсцисс (координат $x$) точек пересечения прямой $y = -1$ и графика функции $y = \sin x + \cos x$, необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение:

$$ \sin x + \cos x = -1 $$

Это уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$, где $a=1$, $b=1$, $c=-1$. Для его решения удобно использовать метод введения вспомогательного угла. Преобразуем левую часть уравнения, вынеся за скобки множитель $\sqrt{a^2 + b^2}$:

$$ \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $$

Умножим и разделим левую часть исходного уравнения на $\sqrt{2}$:

$$ \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) = -1 $$

Заметим, что $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Подставим эти значения в уравнение:

$$ \sqrt{2} \left( \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} \right) = -1 $$

Выражение в скобках является формулой синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$. Применим её:

$$ \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -1 $$

Выразим $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$:

$$ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение уравнения $\sin(t) = a$ задается совокупностью двух серий: $t = \arcsin(a) + 2\pi k$ и $t = \pi - \arcsin(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = x + \frac{\pi}{4}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Арксинус этого значения $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$.

Подставляем и находим $x$ для каждой серии:

1. Первая серия решений:

$$ x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k $$

$$ x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k $$

$$ x = -\frac{2\pi}{4} + 2\pi k $$

$$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

2. Вторая серия решений:

$$ x + \frac{\pi}{4} = \pi - \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k $$

$$ x + \frac{\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k $$

$$ x = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Ответ: Абсциссы точек пересечения задаются двумя сериями решений: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и $x = \pi + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).