Номер 1.535, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.535. Докажите тождество:

а) $\frac{\sin\alpha + \sin 3\alpha}{\cos\alpha + \cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha;$

б) $\frac{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)} = -\operatorname{ctg} \alpha.$

a) Докажем тождество: $ \frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \tan2\alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

Преобразуем числитель дроби:

$ \sin\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\sin(2\alpha)\cos\alpha $.

Преобразуем знаменатель дроби:

$ \cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos\frac{4\alpha}{2}\cos\frac{2\alpha}{2} = 2\cos(2\alpha)\cos\alpha $.

Подставим полученные выражения обратно в левую часть тождества:

$ \frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \frac{2\sin(2\alpha)\cos\alpha}{2\cos(2\alpha)\cos\alpha} $.

Сократим общие множители $ 2 $ и $ \cos\alpha $ (при условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $):

$ \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $.

По определению тангенса $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $, поэтому:

$ \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \tan(2\alpha) $.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Что и требовалось доказать.

б) Докажем тождество: $ \frac{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)} = -\cot\alpha $.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулами суммы и разности косинусов:

$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $

$ \cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $

Пусть $ x = \frac{\pi}{4} + \alpha $ и $ y = \frac{\pi}{4} - \alpha $.

Тогда полусумма и полуразность аргументов равны:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $.

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $.

Преобразуем числитель дроби, используя формулу суммы косинусов:

$ \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 2\cos(\frac{\pi}{4})\cos\alpha $.

Преобразуем знаменатель дроби, используя формулу разности косинусов:

$ \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = -2\sin(\frac{\pi}{4})\sin\alpha $.

Подставим полученные выражения в левую часть тождества:

$ \frac{2\cos(\frac{\pi}{4})\cos\alpha}{-2\sin(\frac{\pi}{4})\sin\alpha} = -\frac{\cos(\frac{\pi}{4})\cos\alpha}{\sin(\frac{\pi}{4})\sin\alpha} $.

Мы знаем, что $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, следовательно $ \cos(\frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) $. Сократим эти равные множители:

$ -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $.

По определению котангенса $ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $, поэтому:

$ -\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = -\cot\alpha $.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Что и требовалось доказать.