Номер 1.531, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.531. Вычислите:

a) $\sin 75^{\circ} + \cos 75^{\circ}$;

б) $\sin 15^{\circ} + \cos 15^{\circ}$;

В) $\sin \frac{5\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12}$.

Для решения данных задач воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Общая формула для преобразования таких выражений: $a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x \pm \alpha)$, где $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

В данных примерах $a=1, b=1$, поэтому $\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Вспомогательный угол $\alpha$ определяется из условий $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, что соответствует $\alpha = 45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, мы будем использовать следующие формулы:

• $\sin x + \cos x = \sqrt{2}(\sin x \cos 45^\circ + \cos x \sin 45^\circ) = \sqrt{2}\sin(x + 45^\circ)$
• $\sin x - \cos x = \sqrt{2}(\sin x \cos 45^\circ - \cos x \sin 45^\circ) = \sqrt{2}\sin(x - 45^\circ)$

Применим формулу для суммы синуса и косинуса, подставив $x = 75^\circ$:

$\sin 75^\circ + \cos 75^\circ = \sqrt{2}\sin(75^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2}\sin(120^\circ)$.

Для нахождения значения $\sin(120^\circ)$ воспользуемся формулой приведения:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим найденное значение в выражение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Аналогично предыдущему пункту, применим формулу для суммы синуса и косинуса при $x = 15^\circ$:

$\sin 15^\circ + \cos 15^\circ = \sqrt{2}\sin(15^\circ + 45^\circ) = \sqrt{2}\sin(60^\circ)$.

Значение синуса $60^\circ$ является табличным:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это значение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Сначала переведем угол из радианной меры в градусную для упрощения вычислений:

$\frac{5\pi}{12} \text{ рад} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{12} = 5 \cdot 15^\circ = 75^\circ$.

Теперь задача сводится к вычислению $\sin 75^\circ - \cos 75^\circ$.

Применим формулу для разности синуса и косинуса, подставив $x = 75^\circ$:

$\sin 75^\circ - \cos 75^\circ = \sqrt{2}\sin(75^\circ - 45^\circ) = \sqrt{2}\sin(30^\circ)$.

Значение синуса $30^\circ$ является табличным:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Подставим найденное значение:

$\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.