Номер 1.527, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.527. Докажите тождество $\frac{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) - \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)} = \text{ctg}\alpha.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами преобразования суммы и разности синусов в произведение.

Формулы, которые мы будем использовать:

• Формула суммы синусов: $ \sin x + \sin y = 2 \sin\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $
• Формула разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) $

В нашем выражении пусть $x = \frac{\pi}{4} + \alpha$ и $y = \frac{\pi}{4} - \alpha$. Найдем полусумму и полуразность этих углов:

$ \frac{x+y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) + (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\pi}{4} $

$ \frac{x-y}{2} = \frac{(\frac{\pi}{4} + \alpha) - (\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2} = \frac{\frac{\pi}{4} + \alpha - \frac{\pi}{4} + \alpha}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha $

Теперь применим формулы к числителю и знаменателю исходной дроби.

Преобразование числителя (сумма синусов):

$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\alpha $

Преобразование знаменателя (разность синусов):

$ \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\alpha $

Подставим преобразованные части обратно в левую часть тождества:

$ \frac{2 \sin(\frac{\pi}{4})\cos\alpha}{2 \cos(\frac{\pi}{4})\sin\alpha} $

Мы знаем, что $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Следовательно, $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) $. Сократив дробь на равные множители $2$, $ \sin(\frac{\pi}{4}) $ и $ \cos(\frac{\pi}{4}) $, получаем:

$ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \cot\alpha $

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна $ \cot\alpha $, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.