Номер 1.523, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.523. Докажите тождество:

а) $ \frac{\sin\alpha - \sin 5\alpha}{\cos\alpha + \cos 5\alpha} = -\operatorname{tg} 2\alpha $;

б) $ \frac{\sin\alpha - \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} = \operatorname{tg} \frac{\alpha - \beta}{2} $.

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами преобразования разности синусов и суммы косинусов в произведение:

• Формула разности синусов: $ \sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x - y}{2} \cos\frac{x + y}{2} $
• Формула суммы косинусов: $ \cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x + y}{2} \cos\frac{x - y}{2} $

Применим эти формулы к левой части равенства $ \frac{\sin\alpha - \sin5\alpha}{\cos\alpha + \cos5\alpha} $.

Преобразуем числитель дроби:

$ \sin\alpha - \sin5\alpha = 2 \sin\frac{\alpha - 5\alpha}{2} \cos\frac{\alpha + 5\alpha}{2} = 2 \sin\frac{-4\alpha}{2} \cos\frac{6\alpha}{2} = 2 \sin(-2\alpha) \cos(3\alpha) $

Используя свойство нечетности синуса ($ \sin(-x) = -\sin x $), получаем:

$ 2 \sin(-2\alpha) \cos(3\alpha) = -2 \sin(2\alpha) \cos(3\alpha) $

Теперь преобразуем знаменатель дроби:

$ \cos\alpha + \cos5\alpha = 2 \cos\frac{\alpha + 5\alpha}{2} \cos\frac{\alpha - 5\alpha}{2} = 2 \cos\frac{6\alpha}{2} \cos\frac{-4\alpha}{2} = 2 \cos(3\alpha) \cos(-2\alpha) $

Используя свойство четности косинуса ($ \cos(-x) = \cos x $), получаем:

$ 2 \cos(3\alpha) \cos(-2\alpha) = 2 \cos(3\alpha) \cos(2\alpha) $

Подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{-2 \sin(2\alpha) \cos(3\alpha)}{2 \cos(3\alpha) \cos(2\alpha)} $

Сокращаем общие множители $ 2 $ и $ \cos(3\alpha) $ (при условии, что $ \cos(3\alpha) \neq 0 $):

$ \frac{-\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} $

По определению тангенса $ \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} $, итоговое выражение равно:

$ -\text{tg}(2\alpha) $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства этого тождества, которое является обобщенным случаем предыдущего, также воспользуемся формулами преобразования разности синусов и суммы косинусов в произведение.

Преобразуем левую часть тождества: $ \frac{\sin\alpha - \sin\beta}{\cos\alpha + \cos\beta} $.

Применим формулы к числителю и знаменателю:

$ \sin\alpha - \sin\beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $

$ \cos\alpha + \cos\beta = 2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $

Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:

$ \frac{2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2}}{2 \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2}} $

Сокращаем общие множители $ 2 $ и $ \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $ (при условии, что $ \cos\frac{\alpha + \beta}{2} \neq 0 $):

$ \frac{\sin\frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos\frac{\alpha - \beta}{2}} $

Используя определение тангенса $ \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} $, получаем:

$ \text{tg}\frac{\alpha - \beta}{2} $

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.