Номер 2.8, страница 166 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.8. Имеет ли смысл выражение:

а) $\sqrt[5]{3}$;

б) $\sqrt[4]{3}$;

в) $\sqrt[7]{-3}$;

г) $\sqrt[6]{-3}$?

Чтобы определить, имеет ли смысл выражение вида $\sqrt[n]{a}$ (корень n-ной степени из числа a) в области действительных чисел, необходимо проанализировать показатель корня $n$ и подкоренное выражение $a$.

Основное правило:

• Если показатель корня $n$ — нечетное число (например, 3, 5, 7, ...), то корень можно извлекать из любого действительного числа $a$ (положительного, отрицательного или равного нулю).
• Если показатель корня $n$ — четное число (например, 2, 4, 6, ...), то корень можно извлекать только из неотрицательного числа $a$ (то есть $a \ge 0$).

Рассмотрим каждое выражение на основе этого правила:

а) В выражении $\sqrt[5]{3}$ показатель корня $n=5$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа под знаком корня. Следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

б) В выражении $\sqrt[4]{3}$ показатель корня $n=4$ является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел. Подкоренное выражение $a=3$ является положительным ($3 > 0$), поэтому условие выполняется. Следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

в) В выражении $\sqrt[7]{-3}$ показатель корня $n=7$ является нечетным числом. Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, в том числе и для отрицательных. Следовательно, выражение имеет смысл.
Ответ: да, имеет смысл.

г) В выражении $\sqrt[6]{-3}$ показатель корня $n=6$ является четным числом. Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел ($a \ge 0$). Подкоренное выражение $a=-3$ является отрицательным, что не удовлетворяет условию. Следовательно, в области действительных чисел данное выражение не имеет смысла.
Ответ: нет, не имеет смысла.