Номер 2.26, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.26. Решите уравнение:

а) $x^4 = 7$;

б) $x^6 = 0$;

в) $x^7 - 4 = 0$;

г) $x^{10} + 1 = 0$.

а) Дано уравнение $x^4 = 7$.
Это уравнение, в котором переменная находится в четной степени ($4$). Правая часть уравнения — положительное число ($7$).
Такое уравнение всегда имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами.
Чтобы найти эти корни, нужно извлечь корень четвертой степени из 7.
$x_1 = \sqrt[4]{7}$
$x_2 = -\sqrt[4]{7}$
Это можно записать одним выражением: $x = \pm\sqrt[4]{7}$.
Ответ: $x = \pm\sqrt[4]{7}$.

б) Дано уравнение $x^6 = 0$.
Возведение в степень равно нулю тогда и только тогда, когда основание степени равно нулю.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

в) Дано уравнение $x^7 - 4 = 0$.
Сначала преобразуем уравнение, перенеся свободный член в правую часть:
$x^7 = 4$.
В этом уравнении переменная находится в нечетной степени ($7$). Уравнение вида $x^{2k+1} = a$ всегда имеет один действительный корень для любого значения $a$.
Корень находится путем извлечения корня седьмой степени из 4.
$x = \sqrt[7]{4}$
Ответ: $x = \sqrt[7]{4}$.

г) Дано уравнение $x^{10} + 1 = 0$.
Преобразуем уравнение, перенеся свободный член в правую часть:
$x^{10} = -1$.
В левой части уравнения стоит переменная $x$ в четной степени ($10$). Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат, то есть $x^{10} \ge 0$ для любого действительного $x$.
В правой части уравнения стоит отрицательное число ($-1$).
Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений в области действительных чисел.
Ответ: действительных корней нет.