Номер 2.24, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.24. С помощью определения арифметического квадратного корня n-й степени выберите все верные равенства:

а) $\sqrt[4]{16} = 2$;б) $\sqrt[3]{27} = 3$;в) $\sqrt[5]{0,00032} = 0,2$;

г) $\sqrt[3]{\frac{8}{125}} = -\frac{2}{5}$;д) $\sqrt[4]{1} = 1$;е) $\sqrt[10]{0} = 0$.

Для проверки верности равенств воспользуемся определением арифметического корня n-й степени. Арифметическим корнем n-й степени (где n - натуральное число, n ≥ 2) из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число b, что выполняется равенство $b^n = a$. Для корней нечетной степени (n - нечетное), корень $\sqrt[n]{a}$ определен для любого действительного числа a и равен такому числу b, что $b^n = a$.

Проверим каждое равенство:

Здесь n = 4 (четная степень). По определению арифметического корня, нужно проверить два условия:
1. Результат должен быть неотрицательным: $2 \ge 0$. Условие выполнено.
2. Результат, возведенный в степень корня, должен быть равен подкоренному выражению: $2^4 = 16$.
Проверяем: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Условие выполнено.
Следовательно, равенство верное.

Ответ: верно.

Здесь n = 3 (нечетная степень). Нужно проверить, выполняется ли равенство $3^3 = 27$.
Проверяем: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$. Условие выполнено.
Следовательно, равенство верное.

Ответ: верно.

Здесь n = 5 (нечетная степень). Нужно проверить, выполняется ли равенство $(0,2)^5 = 0,00032$.
Проверяем: $(0,2)^5 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,00032$. Условие выполнено.
Следовательно, равенство верное.

Ответ: верно.

Здесь n = 3 (нечетная степень). Корень нечетной степени из положительного числа должен быть положительным числом. В правой части равенства стоит отрицательное число $(-\frac{2}{5})$, в то время как подкоренное выражение $(\frac{8}{125})$ положительное. Это уже указывает на неверность равенства.
Для полной проверки возведем правую часть в куб: $(-\frac{2}{5})^3 = -\frac{2^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$.
Так как $-\frac{8}{125} \neq \frac{8}{125}$, равенство неверное.

Ответ: неверно.

Здесь n = 4 (четная степень). Проверяем два условия:
1. Результат неотрицателен: $1 \ge 0$. Условие выполнено.
2. Выполняется равенство $1^4 = 1$.
Проверяем: $1^4 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Условие выполнено.
Следовательно, равенство верное.

Ответ: верно.

Здесь n = 10 (четная степень). Проверяем два условия:
1. Результат неотрицателен: $0 \ge 0$. Условие выполнено.
2. Выполняется равенство $0^{10} = 0$.
Проверяем: $0^{10} = 0$. Условие выполнено.
Следовательно, равенство верное.

Ответ: верно.

Таким образом, верными являются равенства: а), б), в), д), е).