Номер 1.513, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.513. Определите, рациональным или иррациональным числом является значение выражения $a^2$, $a^3$ и $3a\sqrt{2}$ при $a = -\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Для решения задачи необходимо последовательно подставить значение $a = -\frac{\sqrt{2}}{3}$ в каждое из выражений и определить, является ли полученный результат рациональным или иррациональным числом.

Напомним, что рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Иррациональное число нельзя представить в таком виде. Произведение или частное иррационального числа и ненулевого рационального числа всегда иррационально.

$a^2$
Подставим значение $a$ в выражение и возведем в квадрат: $a^2 = \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{(-\sqrt{2})^2}{3^2} = \frac{2}{9}$. Полученное число $\frac{2}{9}$ является отношением двух целых чисел, поэтому оно является рациональным. Это правильная дробь, ее целая часть равна 0.
Ответ: рациональное число.

$a^3$
Подставим значение $a$ в выражение и возведем в куб: $a^3 = \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^3 = -\frac{(\sqrt{2})^3}{3^3} = -\frac{2\sqrt{2}}{27}$. Результат $-\frac{2\sqrt{2}}{27}$ содержит иррациональный множитель $\sqrt{2}$, следовательно, всё число является иррациональным.
Ответ: иррациональное число.

$3a\sqrt{2}$
Подставим значение $a$ в выражение и выполним умножение: $3a\sqrt{2} = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \cdot \sqrt{2} = -\frac{3 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{3}$. Сокращаем множитель 3 в числителе и знаменателе и вычисляем произведение корней: $-(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^2 = -2$. Результат $-2$ — это целое число. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1 (в данном случае $\frac{-2}{1}$). Такая дробь является неправильной.
Ответ: рациональное число, целая часть равна -2.