Номер 1.507, страница 151 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.507. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций $y = 5\cos x$ и $y = \sin 2x$.

Для нахождения абсцисс точек пересечения графиков функций необходимо приравнять их правые части:

$$y = 5\cos x$$

$$y = \sin 2x$$

Получаем уравнение:

$$5\cos x = \sin 2x$$

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим эту формулу в наше уравнение:

$$5\cos x = 2\sin x \cos x$$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$$5\cos x - 2\sin x \cos x = 0$$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (5 - 2\sin x) = 0$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\cos x = 0$

   Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решениями являются:

   $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$$

2. $5 - 2\sin x = 0$

   Решим это уравнение относительно $\sin x$:

   $$2\sin x = 5$$

   $$\sin x = \frac{5}{2}$$

   Выделим целую часть из неправильной дроби: $\sin x = 2\frac{1}{2}$.

   Поскольку область значений функции синус находится в пределах от -1 до 1 (т.е. $-1 \le \sin x \le 1$), а $2\frac{1}{2} > 1$, данное уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения, а значит и абсциссами точек пересечения, являются решения из первого случая.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.