Номер 1.491, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.491. Найдите значение выражения:

a) $(sin 15^{\circ} + cos 15^{\circ})^2$;

б) $sin^3 \frac{\pi}{12} cos \frac{\pi}{12} + cos^3 \frac{\pi}{12} sin \frac{\pi}{12}$.

а) Для нахождения значения выражения $(\sin 15^\circ + \cos 15^\circ)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(\sin 15^\circ + \cos 15^\circ)^2 = \sin^2 15^\circ + 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ + \cos^2 15^\circ$

Сгруппируем первое и третье слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Для второго слагаемого применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.

$(\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ) + 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = 1 + \sin(2 \cdot 15^\circ) = 1 + \sin 30^\circ$

Так как значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$.

Ответ: 1$\frac{1}{2}$.

б) Для упрощения выражения $\sin^3 \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12} + \cos^3 \frac{\pi}{12}\sin \frac{\pi}{12}$ вынесем общий множитель $\sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12}$ за скобки.

$\sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12}(\sin^2 \frac{\pi}{12} + \cos^2 \frac{\pi}{12})$

Выражение в скобках, согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, равно единице.

$\sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12} \cdot 1 = \sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12}$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$, из которой можно выразить $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin 2\alpha$.

$\sin \frac{\pi}{12}\cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{2\pi}{12}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{6})$

Значение $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, следовательно:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$.