Номер 1.487, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.487. Найдите значение выражения $\frac{2\sin2\alpha - 3\cos2\alpha}{4\sin2\alpha + 5\cos2\alpha}$, если известно, что $\text{tg}\alpha = 3$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся известным значением $\tg\alpha = 3$ для того, чтобы найти значение тангенса двойного угла $\tg2\alpha$, а затем упростим исходное выражение, чтобы выразить его через $\tg2\alpha$.

Исходное выражение: $$ \frac{2\sin2\alpha - 3\cos2\alpha}{4\sin2\alpha + 5\cos2\alpha} $$

Чтобы выразить эту дробь через тангенс, разделим ее числитель и знаменатель на $\cos2\alpha$. Это можно сделать, если $\cos2\alpha \neq 0$. Проверим это условие. Используя формулу $\cos2\alpha = \frac{1-\tg^2\alpha}{1+\tg^2\alpha}$ и подставляя $\tg\alpha = 3$, получаем: $$ \cos2\alpha = \frac{1 - 3^2}{1 + 3^2} = \frac{1 - 9}{1 + 9} = \frac{-8}{10} = -0.8 $$ Поскольку $\cos2\alpha \neq 0$, мы можем выполнить деление: $$ \frac{2\sin2\alpha - 3\cos2\alpha}{4\sin2\alpha + 5\cos2\alpha} = \frac{\frac{2\sin2\alpha}{\cos2\alpha} - \frac{3\cos2\alpha}{\cos2\alpha}}{\frac{4\sin2\alpha}{\cos2\alpha} + \frac{5\cos2\alpha}{\cos2\alpha}} = \frac{2\tg2\alpha - 3}{4\tg2\alpha + 5} $$

Теперь найдем значение $\tg2\alpha$ по формуле тангенса двойного угла: $$ \tg2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha} $$ Подставим известное значение $\tg\alpha = 3$: $$ \tg2\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} $$

Наконец, подставим найденное значение $\tg2\alpha = -\frac{3}{4}$ в преобразованное выражение: $$ \frac{2\tg2\alpha - 3}{4\tg2\alpha + 5} = \frac{2 \cdot (-\frac{3}{4}) - 3}{4 \cdot (-\frac{3}{4}) + 5} = \frac{-\frac{6}{4} - 3}{-3 + 5} = \frac{-\frac{3}{2} - 3}{2} = \frac{-\frac{3}{2} - \frac{6}{2}}{2} = \frac{-\frac{9}{2}}{2} = -\frac{9}{4} $$

Результатом является неправильная дробь $-\frac{9}{4}$. Чтобы выделить целую часть, представим ее в виде смешанного числа: $$ -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} $$ Целая часть этого числа равна -2.

Ответ: -2