Номер 1.483, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.483. Найдите все корни уравнения $\sin^4 \frac{x}{2} - \cos^4 \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$.

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения и основными тригонометрическими тождествами.

Исходное уравнение:

$$ \sin^4\frac{x}{2} - \cos^4\frac{x}{2} = \frac{1}{2} $$

1. Упрощение левой части уравнения.

Левую часть уравнения можно представить как разность квадратов, используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = \sin^2\frac{x}{2}$ и $b = \cos^2\frac{x}{2}$.

$$ \left(\sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2}\right)\left(\sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} $$

2. Применение основного тригонометрического тождества.

Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Применим это тождество для $\alpha = \frac{x}{2}$:

$$ \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} = 1 $$

Подставив это в наше уравнение, получаем:

$$ \left(\sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2}\right) \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

$$ \sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2} = \frac{1}{2} $$

3. Применение формулы косинуса двойного угла.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Выражение в левой части нашего уравнения отличается от формулы только знаком. Вынесем минус за скобки:

$$ -\left(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} $$

Применяя формулу косинуса двойного угла для $\alpha = \frac{x}{2}$ (тогда $2\alpha = x$), получаем:

$$ -\cos(x) = \frac{1}{2} $$

Отсюда:

$$ \cos(x) = -\frac{1}{2} $$

4. Нахождение корней уравнения.

Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $\cos(x) = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения $\cos(x) = a$ имеет вид $x = \pm\arccos(a) + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = -\frac{1}{2}$, и значение арккосинуса $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$.

Следовательно, все корни исходного уравнения задаются формулой:

$$ x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.