Номер 1.479, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.479. Докажите тождество:

$1 - (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin 2\alpha$;

$2\sin^2 2\alpha + \cos 4\alpha = 1$;

$\frac{2\sin^2 \alpha \operatorname{ctg} \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha.$

a) Для доказательства тождества $1 - (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin 2\alpha$ преобразуем его левую часть.

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$1 - (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)$

Сгруппируем слагаемые в скобках и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$1 - ((\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) - 2\sin\alpha\cos\alpha) = 1 - (1 - 2\sin\alpha\cos\alpha)$

Теперь применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$1 - (1 - \sin 2\alpha) = 1 - 1 + \sin 2\alpha = \sin 2\alpha$

Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $2\sin^2 2\alpha + \cos 4\alpha = 1$ преобразуем его левую часть.

Используем формулу косинуса двойного угла вида $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$. Применим её к слагаемому $\cos 4\alpha$, представив $4\alpha$ как $2 \cdot (2\alpha)$. В этом случае $x = 2\alpha$.

$\cos 4\alpha = \cos(2 \cdot 2\alpha) = 1 - 2\sin^2 2\alpha$

Подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:

$2\sin^2 2\alpha + (1 - 2\sin^2 2\alpha)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$2\sin^2 2\alpha + 1 - 2\sin^2 2\alpha = 1$

Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества $\frac{2\sin^2\alpha\ctg\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} = \tg 2\alpha$ преобразуем его левую часть.

Преобразуем числитель дроби, используя определение котангенса $\ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:

$2\sin^2\alpha\ctg\alpha = 2\sin^2\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Полученное выражение является формулой синуса двойного угла: $\sin 2\alpha$.

Теперь преобразуем знаменатель дроби. Выражение $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ является одной из формул косинуса двойного угла:

$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}$

По определению тангенса $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, полученное выражение равно $\tg 2\alpha$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.