Номер 1.476, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.476. Найдите:

а) $ \sin 2\alpha $, если $ \sin \alpha = -0,6 $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $;

б) $ \cos 2\alpha $, если $ \cos \alpha = -\frac{2}{9} $.

а) Для нахождения $sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha)$.

Из условия задачи нам известно, что $sin(\alpha) = -0,6$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей тригонометрической четверти.

Чтобы использовать формулу, нам необходимо найти значение $cos(\alpha)$. Для этого применим основное тригонометрическое тождество: $sin^2(\alpha) + cos^2(\alpha) = 1$.

Выразим из него $cos^2(\alpha)$:

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha)$

Подставим известное значение $sin(\alpha)$:

$cos^2(\alpha) = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

Отсюда $cos(\alpha) = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8$.

Так как угол $\alpha$ лежит в третьей четверти, где значения косинуса отрицательны, мы выбираем $cos(\alpha) = -0,8$.

Теперь мы можем вычислить $sin(2\alpha)$, подставив найденные значения $sin(\alpha)$ и $cos(\alpha)$ в формулу двойного угла:

$sin(2\alpha) = 2 \cdot sin(\alpha) \cdot cos(\alpha) = 2 \cdot (-0,6) \cdot (-0,8) = 2 \cdot 0,48 = 0,96$.

Ответ: 0,96.

б) Для нахождения $cos(2\alpha)$, имея значение $cos(\alpha)$, наиболее удобно использовать следующую формулу косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = 2cos^2(\alpha) - 1$.

По условию нам дано, что $cos(\alpha) = -\frac{2}{9}$.

Подставим это значение в формулу:

$cos(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right)^2 - 1$

Сначала возведем в квадрат:

$cos(2\alpha) = 2 \cdot \frac{4}{81} - 1$

Теперь выполним умножение и вычитание:

$cos(2\alpha) = \frac{8}{81} - 1 = \frac{8}{81} - \frac{81}{81} = \frac{8 - 81}{81} = -\frac{73}{81}$.

Ответ: $-\frac{73}{81}$.