Номер 1.469, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.469. Сравните значения выражений $\sin 30^\circ$ и $\sin 60^\circ$.

Для сравнения значений выражений $sin(30^\circ)$ и $sin(60^\circ)$ можно пойти двумя путями: сравнить их точные числовые значения или использовать свойства функции синуса.

Способ 1: Сравнение табличных значений

Найдем значения синусов для данных углов. Это стандартные табличные значения:

• $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
• $sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь необходимо сравнить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как знаменатели у дробей одинаковы (равны 2), нам достаточно сравнить их числители: 1 и $\sqrt{3}$.

Чтобы сравнить 1 и $\sqrt{3}$, можно возвести оба положительных числа в квадрат:

$1^2 = 1$

$(\sqrt{3})^2 = 3$

Поскольку $1 < 3$, то и $1 < \sqrt{3}$.

Следовательно, $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$, а это значит, что $sin(30^\circ) < sin(60^\circ)$.

Способ 2: Использование свойств функции синуса

Рассмотрим функцию $y = sin(x)$. На промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ (первая координатная четверть) функция синуса является монотонно возрастающей. Это означает, что большему значению угла соответствует большее значение синуса.

Оба угла, $30^\circ$ и $60^\circ$, принадлежат этому промежутку.

Так как $30^\circ < 60^\circ$, то из свойства возрастания функции синуса на данном промежутке следует:

$sin(30^\circ) < sin(60^\circ)$

Оба метода приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: $sin(30^\circ) < sin(60^\circ)$.