Номер 1.462, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.462. Решите уравнение $\frac{3x-2}{5} = \frac{x+1}{2} - \frac{3-7x}{10}$

Чтобы решить данное уравнение, мы избавимся от знаменателей, умножив обе части уравнения на их наименьшее общее кратное (НОК).

Исходное уравнение:

$$ \frac{3x-2}{5} = \frac{x+1}{2} - \frac{3-7x}{10} $$

1. Найдем общий знаменатель.

Знаменатели дробей — 5, 2 и 10. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 10.

2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель.

Умножим каждый член уравнения на 10, чтобы избавиться от дробей:

$$ 10 \cdot \left(\frac{3x-2}{5}\right) = 10 \cdot \left(\frac{x+1}{2}\right) - 10 \cdot \left(\frac{3-7x}{10}\right) $$

3. Сократим дроби и упростим уравнение.

$$ \frac{10}{5} \cdot (3x-2) = \frac{10}{2} \cdot (x+1) - \frac{10}{10} \cdot (3-7x) $$

$$ 2 \cdot (3x-2) = 5 \cdot (x+1) - 1 \cdot (3-7x) $$

4. Раскроем скобки.

Важно обратить внимание на знак минус перед последней скобкой, который меняет знаки внутри нее.

$$ 6x - 4 = 5x + 5 - 3 + 7x $$

5. Приведем подобные слагаемые.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и числовые константы в правой части уравнения:

$$ 6x - 4 = (5x + 7x) + (5 - 3) $$

$$ 6x - 4 = 12x + 2 $$

6. Изолируем переменную $x$.

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону уравнения, а числа — в другую. Перенесем $6x$ вправо, а 2 — влево, не забывая менять знаки при переносе.

$$ -4 - 2 = 12x - 6x $$

$$ -6 = 6x $$

7. Найдем значение $x$.

Разделим обе части уравнения на 6:

$$ x = \frac{-6}{6} $$

$$ x = -1 $$

Проверка:

Подставим $x = -1$ в исходное уравнение:

Левая часть: $ \frac{3(-1)-2}{5} = \frac{-3-2}{5} = \frac{-5}{5} = -1 $

Правая часть: $ \frac{-1+1}{2} - \frac{3-7(-1)}{10} = \frac{0}{2} - \frac{3+7}{10} = 0 - \frac{10}{10} = -1 $

Поскольку $-1 = -1$, решение найдено верно.

Ответ: -1.