Номер 1.455, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.455. Вычислите

$\frac{\sin\frac{7\pi}{24}\cos\frac{\pi}{24} - \cos\frac{7\pi}{24}\sin\frac{\pi}{24}}{\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{21} - \sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{21}}$

Для вычисления значения данного выражения необходимо применить тригонометрические формулы сложения и вычитания углов:

• Формула синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $
• Формула косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $

Разберем исходное выражение по частям: числитель и знаменатель.

1. Упрощение числителя.

Выражение в числителе $ \sin\frac{7\pi}{24}\cos\frac{\pi}{24} - \cos\frac{7\pi}{24}\sin\frac{\pi}{24} $ полностью соответствует формуле синуса разности углов. В данном случае $ \alpha = \frac{7\pi}{24} $ и $ \beta = \frac{\pi}{24} $.

Применим формулу:

$ \sin\left(\frac{7\pi}{24} - \frac{\pi}{24}\right) = \sin\left(\frac{6\pi}{24}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) $

Значение синуса для угла $ \frac{\pi}{4} $ является табличным и равно $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

2. Упрощение знаменателя.

Выражение в знаменателе $ \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{21} - \sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{4\pi}{21} $ является развернутой формой косинуса суммы углов. В данном случае $ \alpha = \frac{\pi}{7} $ и $ \beta = \frac{4\pi}{21} $.

Применим формулу $ \cos(\alpha + \beta) $:

$ \cos\left(\frac{\pi}{7} + \frac{4\pi}{21}\right) $

Для сложения дробей в аргументе косинуса, приведем их к общему знаменателю 21:

$ \frac{\pi}{7} + \frac{4\pi}{21} = \frac{3\cdot\pi}{3\cdot7} + \frac{4\pi}{21} = \frac{3\pi}{21} + \frac{4\pi}{21} = \frac{7\pi}{21} = \frac{\pi}{3} $

Таким образом, выражение в знаменателе равно:

$ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $

3. Вычисление итогового значения.

Теперь, когда мы упростили числитель и знаменатель, мы можем найти значение всей дроби, разделив результат упрощения числителя на результат упрощения знаменателя:

$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} $

Для деления на дробь $ \frac{1}{2} $, умножим на обратную ей дробь $ 2 $:

$ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = \sqrt{2} $

Ответ: $ \sqrt{2} $.