Номер 1.454, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.454. Вычислите $\cos 255^\circ$.

Для вычисления значения $cos(255°)$ необходимо представить угол $255°$ через стандартные углы, значения тригонометрических функций для которых известны. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: Использование формулы косинуса суммы

Представим $255°$ как сумму $210° + 45°$.

Применим формулу косинуса суммы: $cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$.

$cos(255°) = cos(210° + 45°) = cos(210°)cos(45°) - sin(210°)sin(45°)$

Найдем значения для $cos(210°)$ и $sin(210°)$ с помощью формул приведения:

• $cos(210°) = cos(180° + 30°) = -cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $sin(210°) = sin(180° + 30°) = -sin(30°) = -\frac{1}{2}$

Значения для $45°$ являются табличными: $cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим все значения в формулу:

$cos(255°) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Способ 2: Использование формул приведения

Представим $255°$ как $270° - 15°$.

Используем формулу приведения $cos(270° - \alpha) = -sin(\alpha)$:

$cos(255°) = cos(270° - 15°) = -sin(15°)$

Теперь вычислим $sin(15°)$, представив $15°$ как разность $45° - 30°$ и применив формулу синуса разности $sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$:

$sin(15°) = sin(45° - 30°) = sin(45°)cos(30°) - cos(45°)sin(30°)$

$sin(15°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Следовательно:

$cos(255°) = -sin(15°) = -\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right) = \frac{-(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.