Номер 1.449, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.449. Докажите тождество:

a) $\sin 6\alpha \sin \alpha - \cos 6\alpha \cos \alpha = \sin \left(\frac{3\pi}{2} + 7\alpha\right);$

б) $\cos \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) \cos \alpha + \sin \left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) \sin \alpha = \frac{1}{2};$

в) $\frac{2\sin(\alpha + 30^{\circ}) - \cos \alpha}{2\cos(\alpha - 30^{\circ}) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \sqrt{3}.$

a) Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части.

Левая часть (ЛЧ):
$ЛЧ = \sin(6\alpha)\sin(\alpha) - \cos(6\alpha)\cos(\alpha)$
Вынесем знак минус за скобки, чтобы выражение стало похоже на формулу косинуса суммы: $ЛЧ = -(\cos(6\alpha)\cos(\alpha) - \sin(6\alpha)\sin(\alpha))$
Применим формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$, где $x=6\alpha$ и $y=\alpha$:
$ЛЧ = -\cos(6\alpha + \alpha) = -\cos(7\alpha)$

Правая часть (ПЧ):
$ПЧ = \sin(\frac{3\pi}{2} + 7\alpha)$
Используем формулу приведения. Угол $\frac{3\pi}{2}$ соответствует 270°, поэтому функция синус меняется на косинус. Аргумент $(\frac{3\pi}{2} + 7\alpha)$ находится в IV координатной четверти, где синус имеет отрицательное значение. Следовательно: $ПЧ = -\cos(7\alpha)$

Поскольку $ЛЧ = ПЧ$ ($-\cos(7\alpha) = -\cos(7\alpha)$), тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества.

$ЛЧ = \cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)\cos(\alpha) + \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha)\sin(\alpha)$
Выражение в левой части соответствует формуле косинуса разности: $\cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$, где $x = \frac{\pi}{3} + \alpha$ и $y = \alpha$. $ЛЧ = \cos\left(\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) - \alpha\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Вычислим значение косинуса: $\cos(\frac{\pi}{3}) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Левая часть равна $\frac{1}{2}$, что совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.

в) Для доказательства тождества упростим числитель и знаменатель дроби в левой части.

Упростим числитель: $2\sin(\alpha + 30^\circ) - \cos(\alpha)$
Применим формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$: $2(\sin(\alpha)\cos(30^\circ) + \cos(\alpha)\sin(30^\circ)) - \cos(\alpha)$
Подставим табличные значения $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:
$2\left(\sin(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos(\alpha) \cdot \frac{1}{2}\right) - \cos(\alpha) = \sqrt{3}\sin(\alpha) + \cos(\alpha) - \cos(\alpha) = \sqrt{3}\sin(\alpha)$

Упростим знаменатель: $2\cos(\alpha - 30^\circ) - \sqrt{3}\cos(\alpha)$
Применим формулу косинуса разности $\cos(x-y) = \cos(x)\cos(y) + \sin(x)\sin(y)$: $2(\cos(\alpha)\cos(30^\circ) + \sin(\alpha)\sin(30^\circ)) - \sqrt{3}\cos(\alpha)$
Подставим табличные значения:
$2\left(\cos(\alpha) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin(\alpha) \cdot \frac{1}{2}\right) - \sqrt{3}\cos(\alpha) = \sqrt{3}\cos(\alpha) + \sin(\alpha) - \sqrt{3}\cos(\alpha) = \sin(\alpha)$

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в левую часть: $ЛЧ = \frac{\sqrt{3}\sin(\alpha)}{\sin(\alpha)}$
При условии, что $\sin(\alpha) \neq 0$ (т.е. $\alpha \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$), мы можем сократить дробь: $ЛЧ = \sqrt{3}$

Левая часть равна $\sqrt{3}$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.