Номер 1.445, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.445. Вычислите:

а) $\frac{\sin 17^\circ \cos 13^\circ + \sin 13^\circ \cos 17^\circ}{\cos 20^\circ \cos 25^\circ - \sin 20^\circ \sin 25^\circ}$

б) $\frac{\sin 5^\circ \cos 15^\circ + \cos 5^\circ \cos 15^\circ}{\cos 80^\circ \cos 150^\circ + \sin 80^\circ \sin 150^\circ}$

a) Для вычисления значения выражения $$ \frac{\sin17^\circ\cos13^\circ + \sin13^\circ\cos17^\circ}{\cos20^\circ\cos25^\circ - \sin20^\circ\sin25^\circ} $$ воспользуемся тригонометрическими формулами сложения.

Числитель преобразуем, используя формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

$\sin17^\circ\cos13^\circ + \sin13^\circ\cos17^\circ = \sin(17^\circ + 13^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

Знаменатель преобразуем, используя формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.

$\cos20^\circ\cos25^\circ - \sin20^\circ\sin25^\circ = \cos(20^\circ + 25^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь вычислим значение всего выражения, подставив полученные значения:

$$ \frac{\sin(30^\circ)}{\cos(45^\circ)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

б) Для вычисления значения выражения $$ \frac{\sin5^\circ\cos15^\circ + \cos5^\circ\sin15^\circ}{\cos80^\circ\cos150^\circ + \sin80^\circ\sin150^\circ} $$ также воспользуемся тригонометрическими формулами.

Числитель преобразуется по формуле синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

$\sin5^\circ\cos15^\circ + \cos5^\circ\sin15^\circ = \sin(5^\circ + 15^\circ) = \sin(20^\circ)$.

Знаменатель преобразуется по формуле косинуса разности углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

$\cos80^\circ\cos150^\circ + \sin80^\circ\sin150^\circ = \cos(80^\circ - 150^\circ) = \cos(-70^\circ)$.

Так как косинус — четная функция, $\cos(-70^\circ) = \cos(70^\circ)$. Далее используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$:

$\cos(70^\circ) = \sin(90^\circ - 70^\circ) = \sin(20^\circ)$.

Теперь вычислим значение всего выражения:

$$ \frac{\sin(20^\circ)}{\cos(70^\circ)} = \frac{\sin(20^\circ)}{\sin(20^\circ)} = 1 $$

Ответ: 1