Номер 1.438, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.438. Упростите выражение:

a) $\cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta)$;

б) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{2} - \beta\right) - \cos(\alpha - \beta)$.

а) Упростим выражение $ \cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\sin(-\beta) $.

Для начала воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ \sin(-x) = -\sin(x) $.

Таким образом, $ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) $ и $ \sin(-\beta) = -\sin(\beta) $.

Произведение этих двух выражений будет:
$ \sin(-\alpha)\sin(-\beta) = (-\sin(\alpha))(-\sin(\beta)) = \sin(\alpha)\sin(\beta) $.

Подставим это обратно в исходное выражение:
$ \cos(\alpha + \beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) $.

Теперь применим формулу косинуса суммы углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) $.

Получаем:
$ (\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)) + \sin(\alpha)\sin(\beta) $.

Слагаемые $ -\sin(\alpha)\sin(\beta) $ и $ \sin(\alpha)\sin(\beta) $ взаимно уничтожаются.
$ \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) $.

Ответ: $ \cos(\alpha)\cos(\beta) $.

б) Упростим выражение $ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)\sin(\frac{\pi}{2} - \beta) - \cos(\alpha - \beta) $.

Воспользуемся формулами приведения: $ \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x) $.

Применим эту формулу к первым двум множителям:
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) $
$ \sin(\frac{\pi}{2} - \beta) = \cos(\beta) $

Подставим полученные значения в исходное выражение:
$ \cos(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha - \beta) $.

Теперь применим формулу косинуса разности углов: $ \cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) $.

Получаем:
$ \cos(\alpha)\cos(\beta) - (\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)) $.

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри:
$ \cos(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta) $.

Слагаемые $ \cos(\alpha)\cos(\beta) $ и $ -\cos(\alpha)\cos(\beta) $ взаимно уничтожаются, и в результате остается:
$ -\sin(\alpha)\sin(\beta) $.

Ответ: $ -\sin(\alpha)\sin(\beta) $.