Номер 1.435, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.435*. Найдите сумму корней уравнения $\sin 3x \cos 2x = \cos 3x \sin 2x$, принадлежащих промежутку $[-\pi; \pi]$.

Для решения данного уравнения, перенесем все члены в левую часть:

$\sin(3x)\cos(2x) - \cos(3x)\sin(2x) = 0$

Это выражение соответствует формуле синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.

В нашем уравнении $\alpha = 3x$ и $\beta = 2x$. Применив формулу, получим:

$\sin(3x - 2x) = 0$

$\sin(x) = 0$

Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является серия корней:

$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n — любое целое число).

Теперь необходимо найти все корни, которые принадлежат заданному промежутку $[-\pi; \pi]$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:

$-\pi \le \pi n \le \pi$

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства сохраняются):

$-1 \le n \le 1$

Так как $n$ должно быть целым числом, то его возможными значениями являются -1, 0 и 1.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого целого $n$:

• При $n = -1$, корень $x_1 = \pi \cdot (-1) = -\pi$.
• При $n = 0$, корень $x_2 = \pi \cdot 0 = 0$.
• При $n = 1$, корень $x_3 = \pi \cdot 1 = \pi$.

Все три корня $(-\pi, 0, \pi)$ принадлежат промежутку $[-\pi; \pi]$.

Осталось найти их сумму:

$S = x_1 + x_2 + x_3 = -\pi + 0 + \pi = 0$

Сумма корней уравнения, принадлежащих промежутку $[-\pi; \pi]$: Ответ: 0