Номер 1.434, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.434. Известно, что $\alpha$ и $\beta$ — углы второй четверти и $\cos\alpha = -\frac{12}{13}$,
$\cos\beta = \frac{4}{5}$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha + \beta)$.

В условии задачи содержится противоречие. Указано, что угол $ \beta $ находится во второй четверти, однако его косинус $ \cos\beta = \frac{4}{5} $ является положительным числом. Для любого угла во второй четверти косинус должен быть отрицательным. Наиболее вероятной является опечатка в знаке. Для решения задачи предположим, что верное значение $ \cos\beta = -\frac{4}{5} $.

Для нахождения $ \text{tg}(\alpha + \beta) $ воспользуемся формулой тангенса суммы:

$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta} $

Для этого нам необходимо найти значения $ \text{tg}\alpha $ и $ \text{tg}\beta $.

Шаг 1: Нахождение $ \text{tg}\alpha $

Известно, что $ \cos\alpha = -\frac{12}{13} $ и угол $ \alpha $ находится во второй четверти. В этой четверти синус положителен, а тангенс отрицателен.

Найдем $ \sin\alpha $ с помощью основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $

Поскольку $ \alpha $ — угол второй четверти, $ \sin\alpha > 0 $, поэтому $ \sin\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $.

Теперь вычислим $ \text{tg}\alpha $:

$ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12} $.

Шаг 2: Нахождение $ \text{tg}\beta $

Используя исправленное условие $ \cos\beta = -\frac{4}{5} $, и зная, что $ \beta $ — угол второй четверти (где синус положителен, а тангенс отрицателен), найдем $ \sin\beta $:

$ \sin^2\beta = 1 - \cos^2\beta = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} $

Так как $ \beta $ во второй четверти, $ \sin\beta > 0 $, поэтому $ \sin\beta = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} $.

Теперь вычислим $ \text{tg}\beta $:

$ \text{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4} $.

Шаг 3: Вычисление $ \text{tg}(\alpha + \beta) $

Подставим найденные значения $ \text{tg}\alpha = -\frac{5}{12} $ и $ \text{tg}\beta = -\frac{3}{4} $ в формулу тангенса суммы:

$ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{-\frac{5}{12} + \left(-\frac{3}{4}\right)}{1 - \left(-\frac{5}{12}\right) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{-\frac{5}{12} - \frac{9}{12}}{1 - \frac{15}{48}} = \frac{-\frac{14}{12}}{1 - \frac{5}{16}} = \frac{-\frac{7}{6}}{\frac{16-5}{16}} = \frac{-\frac{7}{6}}{\frac{11}{16}} $

Выполним деление дробей:

$ \text{tg}(\alpha + \beta) = -\frac{7}{6} \cdot \frac{16}{11} = -\frac{7 \cdot 16}{6 \cdot 11} = -\frac{7 \cdot 8}{3 \cdot 11} = -\frac{56}{33} $

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$ -\frac{56}{33} = -1\frac{23}{33} $

tg(α + β): Ответ: $-1\frac{23}{33}$