Номер 1.428, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.428. Упростите выражение:

a) $\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$;

б) $\frac{\cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta) - \sin \alpha \sin \beta}$.

а) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

Подставим эти формулы в числитель исходной дроби:

$\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \frac{(\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta) + (\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta)}{\cos\alpha \cos\beta}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{\sin\alpha \cos\beta + \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta - \cos\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta} = \frac{2\sin\alpha \cos\beta}{\cos\alpha \cos\beta}$

Сократим дробь на $\cos\beta$ (при условии, что $\cos\beta \neq 0$):

$\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Используя определение тангенса $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, получаем:

$2\tan\alpha$

Ответ: $2\tan\alpha$.

б) Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

Подставим эту формулу в числитель и знаменатель исходной дроби.

Упростим числитель:

$\cos\alpha \cos\beta - \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta - (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) = \cos\alpha \cos\beta - \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta = -\sin\alpha \sin\beta$

Упростим знаменатель:

$\cos(\alpha - \beta) - \sin\alpha \sin\beta = (\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta) - \sin\alpha \sin\beta = \cos\alpha \cos\beta$

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{-\sin\alpha \sin\beta}{\cos\alpha \cos\beta}$

Сгруппируем множители и используем определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = -\tan\alpha \tan\beta$

Ответ: $-\tan\alpha \tan\beta$.