Номер 1.432, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.432. Вычислите $ \frac{\sin 56^\circ \sin 124^\circ - \sin 34^\circ \cos 236^\circ}{\cos 28^\circ \cos 88^\circ + \cos 178^\circ \sin 208^\circ} $

Для вычисления значения выражения необходимо упростить числитель и знаменатель дроби, используя формулы приведения и основные тригонометрические тождества.

1. Упрощение числителя

Рассмотрим выражение в числителе: $ \sin56^\circ \sin124^\circ - \sin34^\circ \cos236^\circ $.

Применим формулы приведения для приведения аргументов тригонометрических функций к более удобному виду. Выразим все функции через угол $56^\circ$:

• $ \sin124^\circ = \sin(180^\circ - 56^\circ) = \sin56^\circ $
• $ \sin34^\circ = \sin(90^\circ - 56^\circ) = \cos56^\circ $
• $ \cos236^\circ = \cos(180^\circ + 56^\circ) = -\cos56^\circ $

Подставим преобразованные значения в исходное выражение числителя:

$ \sin56^\circ \cdot \sin56^\circ - \cos56^\circ \cdot (-\cos56^\circ) = \sin^2 56^\circ + \cos^2 56^\circ $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $, значение числителя равно 1.

2. Упрощение знаменателя

Рассмотрим выражение в знаменателе: $ \cos28^\circ \cos88^\circ + \cos178^\circ \sin208^\circ $.

Так же, как и для числителя, применим формулы приведения:

• $ \cos88^\circ = \cos(90^\circ - 2^\circ) = \sin2^\circ $
• $ \cos178^\circ = \cos(180^\circ - 2^\circ) = -\cos2^\circ $
• $ \sin208^\circ = \sin(180^\circ + 28^\circ) = -\sin28^\circ $

Подставим полученные выражения в знаменатель:

$ \cos28^\circ \cdot \sin2^\circ + (-\cos2^\circ) \cdot (-\sin28^\circ) = \sin2^\circ \cos28^\circ + \cos2^\circ \sin28^\circ $

Полученное выражение является развернутой формулой синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.

Применим эту формулу для $ \alpha = 2^\circ $ и $ \beta = 28^\circ $:

$ \sin(2^\circ + 28^\circ) = \sin30^\circ $

Значение синуса 30 градусов является табличным: $ \sin30^\circ = \frac{1}{2} $. Таким образом, знаменатель равен $ \frac{1}{2} $.

3. Итоговое вычисление

Теперь разделим значение упрощенного числителя на значение упрощенного знаменателя:

$ \frac{1}{\frac{1}{2}} = 1 \cdot 2 = 2 $

Ответ: 2