Номер 1.429, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.429. Вычислите значение тригонометрической функции, используя формулы приведения и формулы сложения:

a) $ \sin 195^\circ $;

б) $ \tan 285^\circ $.

a) Для вычисления значения $ \sin{195^\circ} $ используем формулы приведения и формулы сложения. Сначала представим угол 195° в виде суммы углов, для которых значения тригонометрических функций известны или легко вычисляются. Воспользуемся формулой приведения, представив 195° как $ 180^\circ + 15^\circ $.

Согласно формуле приведения $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha) $, так как угол 195° находится в III координатной четверти, где значения синуса отрицательны.

Теперь необходимо вычислить значение $ \sin(15^\circ) $. Для этого представим 15° как разность двух стандартных углов: $ 45^\circ - 30^\circ $.

Применим формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta) $.

Подставим табличные значения тригонометрических функций:

Произведем вычисления:

Таким образом, значение исходного выражения равно:

Ответ: $ \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} $.

б) Для вычисления значения $ \text{tg } 285^\circ $ воспользуемся формулой приведения, представив 285° как $ 270^\circ + 15^\circ $.

Согласно формуле приведения $ \text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha) $, так как угол 285° находится в IV координатной четверти, где значения тангенса отрицательны, и при использовании опорного угла 270° функция меняется на кофункцию.

Теперь вычислим значение $ \text{ctg}(15^\circ) $, представив 15° как разность $ 45^\circ - 30^\circ $.

Применим формулу котангенса разности: $ \text{ctg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{ctg}(\alpha)\text{ctg}(\beta) + 1}{\text{ctg}(\beta) - \text{ctg}(\alpha)} $.

Подставим табличные значения: $ \text{ctg}(45^\circ) = 1 $ и $ \text{ctg}(30^\circ) = \sqrt{3} $.

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ (\sqrt{3} + 1) $.

Таким образом, $ \text{ctg}(15^\circ) = 2 + \sqrt{3} $. Возвращаемся к исходному выражению:

Ответ: $ -(2 + \sqrt{3}) $.