Номер 1.426, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.426. Постройте график функции

$y = \cos 2x \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right) + \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) \sin 2x$

Для построения графика данной функции сначала упростим ее выражение. Исходная функция имеет вид:

$y = \cos 2x \cos(x - \frac{\pi}{3}) + \sin(x - \frac{\pi}{3}) \sin 2x$

Для удобства поменяем местами сомножители во втором слагаемом:

$y = \cos 2x \cos(x - \frac{\pi}{3}) + \sin 2x \sin(x - \frac{\pi}{3})$

Это выражение соответствует правой части формулы косинуса разности двух углов:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = x - \frac{\pi}{3}$. Применив формулу, получим:

$y = \cos(2x - (x - \frac{\pi}{3})) = \cos(2x - x + \frac{\pi}{3}) = \cos(x + \frac{\pi}{3})$

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Построение графика

График функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ получается из графика базовой функции $y = \cos x$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс Ox.

1. Построение графика $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида с амплитудой 1, периодом $2\pi$ и проходящая через точку $(0, 1)$.
2. Преобразование графика. Функция $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$ имеет аргумент вида $(x+c)$, где $c=\frac{\pi}{3}$. Поскольку $c > 0$, график $y = \cos x$ необходимо сдвинуть влево на $\frac{\pi}{3}$.

Для построения найдем новые координаты ключевых точек, сдвинув соответствующие точки графика $y = \cos x$ на $\frac{\pi}{3}$ влево по оси Ox.

Ключевые точки для одного периода функции $y = \cos(x + \frac{\pi}{3})$:

• Максимум: Исходная точка $(0, 1)$ сдвигается в точку $(0 - \frac{\pi}{3}, 1) = (-\frac{\pi}{3}, 1)$.
• Пересечение с осью Ox (нуль функции): Исходная точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ сдвигается в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{3\pi-2\pi}{6}, 0) = (\frac{\pi}{6}, 0)$.
• Минимум: Исходная точка $(\pi, -1)$ сдвигается в точку $(\pi - \frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{2\pi}{3}, -1)$.
• Пересечение с осью Ox (нуль функции): Исходная точка $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ сдвигается в точку $(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{9\pi-2\pi}{6}, 0) = (\frac{7\pi}{6}, 0)$.
• Следующий максимум: Исходная точка $(2\pi, 1)$ сдвигается в точку $(2\pi - \frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{5\pi}{3}, 1)$.

Соединив эти точки плавной линией, получим искомый график. Это косинусоида, сдвинутая влево на $\frac{\pi}{3}$.