Номер 1.419, страница 137 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.419. Упростите выражение $ \cos(120^{\circ} + \alpha) + \cos(\alpha - 60^{\circ}) $.

Для упрощения данного выражения можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Использование формул косинуса суммы и разности

Для решения нам понадобятся следующие тригонометрические формулы:

• Формула косинуса суммы: $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
• Формула косинуса разности: $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
• Свойство четности косинуса: $ \cos(-x) = \cos x $, из которого следует, что $ \cos(\alpha - 60^\circ) = \cos(60^\circ - \alpha) $

Раскроем каждый косинус в исходном выражении по отдельности.

Для первого слагаемого $ \cos(120^\circ + \alpha) $: $$ \cos(120^\circ + \alpha) = \cos(120^\circ)\cos(\alpha) - \sin(120^\circ)\sin(\alpha) $$ Зная значения $ \cos(120^\circ) = -1/2 $ и $ \sin(120^\circ) = \sqrt{3}/2 $, получаем: $$ \cos(120^\circ + \alpha) = -\frac{1}{2}\cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha) $$

Для второго слагаемого $ \cos(\alpha - 60^\circ) $: $$ \cos(\alpha - 60^\circ) = \cos(\alpha)\cos(60^\circ) + \sin(\alpha)\sin(60^\circ) $$ Зная значения $ \cos(60^\circ) = 1/2 $ и $ \sin(60^\circ) = \sqrt{3}/2 $, получаем: $$ \cos(\alpha - 60^\circ) = \frac{1}{2}\cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha) $$

Теперь сложим полученные выражения:

$$ \left(-\frac{1}{2}\cos(\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha)\right) + \left(\frac{1}{2}\cos(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha)\right) $$

Сгруппируем и сократим подобные члены:

$$ \left(-\frac{1}{2}\cos(\alpha) + \frac{1}{2}\cos(\alpha)\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha) + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\alpha)\right) = 0 + 0 = 0 $$

Способ 2: Использование формулы суммы косинусов

Воспользуемся формулой преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

$$ \cos x + \cos y = 2 \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) \cos\left(\frac{x-y}{2}\right) $$

В нашем выражении $ \cos(120^\circ + \alpha) + \cos(\alpha - 60^\circ) $ примем:

$ x = 120^\circ + \alpha $

$ y = \alpha - 60^\circ $

Найдем полусумму и полуразность аргументов:

$$ \frac{x+y}{2} = \frac{(120^\circ + \alpha) + (\alpha - 60^\circ)}{2} = \frac{120^\circ - 60^\circ + 2\alpha}{2} = \frac{60^\circ + 2\alpha}{2} = 30^\circ + \alpha $$ $$ \frac{x-y}{2} = \frac{(120^\circ + \alpha) - (\alpha - 60^\circ)}{2} = \frac{120^\circ + \alpha - \alpha + 60^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $$

Подставим найденные значения обратно в формулу:

$$ \cos(120^\circ + \alpha) + \cos(\alpha - 60^\circ) = 2 \cos(30^\circ + \alpha) \cos(90^\circ) $$

Поскольку $ \cos(90^\circ) = 0 $, то все произведение равно нулю:

$$ 2 \cos(30^\circ + \alpha) \cdot 0 = 0 $$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 0