Номер 1.416, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.416. Вычислите $ \sin(60^{\circ} + \alpha) $, используя формулу синуса суммы, если $ \cos\alpha = \frac{5}{13} $ и $ 630^{\circ} < \alpha < 720^{\circ} $.

Для вычисления значения выражения $\sin(60^\circ + \alpha)$ воспользуемся формулой синуса суммы:

$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

В нашем случае $A = 60^\circ$ и $B = \alpha$, поэтому формула принимает вид:

$\sin(60^\circ + \alpha) = \sin 60^\circ \cos \alpha + \cos 60^\circ \sin \alpha$

Нам известны следующие значения:

• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
• $\cos \alpha = \frac{5}{13}$ (по условию)

Необходимо найти значение $\sin \alpha$. Для этого используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Выразим из тождества $\sin^2 \alpha$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$

Следовательно, $\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}$.

Чтобы определить знак $\sin \alpha$, рассмотрим заданный для угла $\alpha$ промежуток: $630^\circ < \alpha < 720^\circ$.

Найдем, в какой тригонометрической четверти находится угол $\alpha$. Для этого приведем его к диапазону от $0^\circ$ до $360^\circ$, вычитая полные обороты ($360^\circ$):

$630^\circ - 360^\circ = 270^\circ$

$720^\circ - 360^\circ = 360^\circ$ (или можно заметить, что $720^\circ = 2 \cdot 360^\circ$)

Таким образом, угол $\alpha$ находится в IV (четвертой) четверти ($270^\circ < \alpha_{экв} < 360^\circ$). В этой четверти синус отрицателен ($\sin \alpha < 0$), а косинус положителен ($\cos \alpha > 0$), что соответствует условию.

Следовательно, выбираем отрицательное значение для синуса:

$\sin \alpha = -\frac{12}{13}$

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса суммы:

$\sin(60^\circ + \alpha) = \sin 60^\circ \cos \alpha + \cos 60^\circ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5}{13} + \frac{1}{2} \cdot (-\frac{12}{13})$

Выполним вычисления:

$\sin(60^\circ + \alpha) = \frac{5\sqrt{3}}{26} - \frac{12}{26} = \frac{5\sqrt{3} - 12}{26}$

Вычисление sin(60° + α) Ответ: $\frac{5\sqrt{3} - 12}{26}$