Номер 1.412, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.412. Упростите выражение:

a) $\sin(\alpha - \beta) - \cos(-\alpha) \sin(-\beta)$;

б) $\cos(\alpha + \beta) + \sin(-\alpha)\cos(\frac{\pi}{2} + \beta)$.

а) Для упрощения выражения $sin(α - β) - cos(-α) sin(-β)$ воспользуемся свойствами четности/нечетности тригонометрических функций и формулой синуса разности.
Свойства четности/нечетности:

• Косинус — четная функция: $cos(-α) = cos(α)$
• Синус — нечетная функция: $sin(-β) = -sin(β)$

Подставим эти тождества в исходное выражение:
$sin(α - β) - cos(α)(-sin(β)) = sin(α - β) + cos(α)sin(β)$
Теперь используем формулу синуса разности: $sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)$.
Подставим её в полученное выражение:
$(sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β)) + cos(α)sin(β)$
Приводим подобные слагаемые:
$sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β) + cos(α)sin(β) = sin(α)cos(β)$
Ответ: $sin(α)cos(β)$

б) Для упрощения выражения $cos(α + β) + sin(-α)cos(\frac{\pi}{2} + β)$ воспользуемся свойством нечетности синуса, формулой приведения и формулой косинуса суммы.
Свойство нечетности синуса: $sin(-α) = -sin(α)$.
Формула приведения: $cos(\frac{\pi}{2} + β) = -sin(β)$.
Подставим эти тождества в исходное выражение:
$cos(α + β) + (-sin(α))(-sin(β)) = cos(α + β) + sin(α)sin(β)$
Теперь используем формулу косинуса суммы: $cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)$.
Подставим её в полученное выражение:
$(cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β)) + sin(α)sin(β)$
Приводим подобные слагаемые:
$cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β) + sin(α)sin(β) = cos(α)cos(β)$
Ответ: $cos(α)cos(β)$