Номер 1.410, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.410. С помощью формул сложения преобразуйте выражение:

a) $\sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right);$

б) $\cos\left(30^\circ + \alpha\right);$

в) $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right).$

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы сложения для тригонометрических функций.

а) Для преобразования выражения $\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$ используется формула синуса разности:

$\sin(x - y) = \sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)$

Подставляем в формулу $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$:

$\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{3})\cos(\alpha) - \cos(\frac{\pi}{3})\sin(\alpha)$

Зная табличные значения $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, подставляем их в выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha) - \frac{1}{2}\sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha) - \frac{1}{2}\sin(\alpha)$.

б) Для преобразования выражения $\cos(30^\circ + \alpha)$ используется формула косинуса суммы:

$\cos(x + y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)$

Подставляем в формулу $x = 30^\circ$ и $y = \alpha$:

$\cos(30^\circ + \alpha) = \cos(30^\circ)\cos(\alpha) - \sin(30^\circ)\sin(\alpha)$

Зная табличные значения $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, подставляем их в выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha) - \frac{1}{2}\sin(\alpha)$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}\cos(\alpha) - \frac{1}{2}\sin(\alpha)$.

в) Для преобразования выражения $\tg(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ используется формула тангенса разности:

$\tg(x - y) = \frac{\tg(x) - \tg(y)}{1 + \tg(x)\tg(y)}$

Подставляем в формулу $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$:

$\tg(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\tg(\frac{\pi}{4}) - \tg(\alpha)}{1 + \tg(\frac{\pi}{4})\tg(\alpha)}$

Зная табличное значение $\tg(\frac{\pi}{4}) = 1$, подставляем его в выражение:

$\frac{1 - \tg(\alpha)}{1 + 1 \cdot \tg(\alpha)} = \frac{1 - \tg(\alpha)}{1 + \tg(\alpha)}$

Ответ: $\frac{1 - \tg(\alpha)}{1 + \tg(\alpha)}$.