Номер 1.415, страница 136 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.415. Решите уравнение:

a) $ \sin x \sin 3x = \cos 3x \cos x; $

б) $ \sin x \cos \frac{5x}{2} = \cos x \sin \frac{5x}{2}; $

В) $ \sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x = \frac{1}{2}; $

Г) $ \frac{\operatorname{tg} x + \operatorname{tg} 2x}{1 - \operatorname{tg} x \operatorname{tg} 2x} = \frac{1}{\sqrt{3}}. $

а) Исходное уравнение: $ \sin x \sin 3x = \cos 3x \cos x $.
Перенесем все члены уравнения в правую часть: $$ \cos 3x \cos x - \sin x \sin 3x = 0 $$ Левая часть уравнения является формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $. Применим эту формулу, где $ \alpha = 3x $ и $ \beta = x $: $$ \cos(3x + x) = 0 $$ $$ \cos(4x) = 0 $$ Это простейшее тригонометрическое уравнение, решения которого имеют вид: $$ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \text{ где } n \in Z $$ Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$: $$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \text{ где } n \in Z $$ Ответ: $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \text{ где } n \in Z $.

б) Исходное уравнение: $ \sin x \cos\frac{5x}{2} = \cos x \sin\frac{5x}{2} $.
Перенесем все члены уравнения в левую часть: $$ \sin x \cos\frac{5x}{2} - \cos x \sin\frac{5x}{2} = 0 $$ Левая часть уравнения является формулой синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. Применим эту формулу, где $ \alpha = x $ и $ \beta = \frac{5x}{2} $: $$ \sin(x - \frac{5x}{2}) = 0 $$ $$ \sin(-\frac{3x}{2}) = 0 $$ Так как функция синус нечетная ($ \sin(-y) = -\sin(y) $), уравнение можно переписать в виде: $$ -\sin(\frac{3x}{2}) = 0 \implies \sin(\frac{3x}{2}) = 0 $$ Это простейшее тригонометрическое уравнение, решения которого имеют вид: $$ \frac{3x}{2} = \pi n, \text{ где } n \in Z $$ Умножим обе части на $ \frac{2}{3} $, чтобы найти $x$: $$ x = \frac{2\pi n}{3}, \text{ где } n \in Z $$ Ответ: $ x = \frac{2\pi n}{3}, \text{ где } n \in Z $.

в) Исходное уравнение: $ \sin 2x \cos 3x - \cos 2x \sin 3x = \frac{1}{2} $.
Левая часть уравнения является формулой синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $. Применим эту формулу, где $ \alpha = 2x $ и $ \beta = 3x $: $$ \sin(2x - 3x) = \frac{1}{2} $$ $$ \sin(-x) = \frac{1}{2} $$ Так как функция синус нечетная ($ \sin(-y) = -\sin(y) $), уравнение можно переписать в виде: $$ -\sin x = \frac{1}{2} \implies \sin x = -\frac{1}{2} $$ Решения этого уравнения можно записать в виде двух серий: $$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \text{ где } n \in Z $$ $$ x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, \text{ где } n \in Z $$ Для второй серии решений выделим целую часть из неправильной дроби $ \frac{7}{6} $: $$ \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} $$ Таким образом, вторая серия решений записывается как $ x = 1\frac{1}{6}\pi + 2\pi n $. Ответ: $ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \quad x = 1\frac{1}{6}\pi + 2\pi n, \text{ где } n \in Z $.

г) Исходное уравнение: $ \frac{\tg x + \tg 2x}{1 - \tg x \tg 2x} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.
Левая часть уравнения является формулой тангенса суммы двух углов: $ \tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{1 - \tg \alpha \tg \beta} $. Применим эту формулу, где $ \alpha = x $ и $ \beta = 2x $: $$ \tg(x + 2x) = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ $$ \tg(3x) = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ Это простейшее тригонометрическое уравнение, решения которого имеют вид: $$ 3x = \operatorname{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n, \text{ где } n \in Z $$ $$ 3x = \frac{\pi}{6} + \pi n $$ Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$: $$ x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, \text{ где } n \in Z $$ Необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения: $ \cos x \ne 0 $, $ \cos 2x \ne 0 $ и $ 1 - \tg x \tg 2x \ne 0 $ (что эквивалентно $ \cos(3x) \ne 0 $). Найденные решения удовлетворяют этим условиям, так как для них $ \cos(3x) = \cos(\frac{\pi}{6} + \pi n) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \ne 0 $. Проверка показывает, что и остальные условия ОДЗ также выполняются. Ответ: $ x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, \text{ где } n \in Z $.