Номер 1.431, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.431. Докажите тождество $\frac{\sqrt{2}\cos\alpha - 2\cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha} = -\sqrt{2}\text{tg}\alpha.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть до вида правой части. Будем работать последовательно с числителем и знаменателем дроби.

1. Упрощение числителя: $ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) $.

Воспользуемся тригонометрической формулой косинуса разности: $ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $.
Применим эту формулу к выражению $ \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) $:$$ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha $$Подставим известные значения $ \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $:$$ \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) $$Теперь подставим результат в исходное выражение числителя и упростим его:$$ \begin{aligned}& \quad \sqrt{2}\cos\alpha - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha + \sin\alpha)\right) \\&= \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}(\cos\alpha + \sin\alpha) \\&= \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha \\&= -\sqrt{2}\sin\alpha\end{aligned} $$Таким образом, числитель равен $ -\sqrt{2}\sin\alpha $.

2. Упрощение знаменателя: $ 2\sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \sqrt{3}\sin\alpha $.

Воспользуемся формулой синуса суммы: $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $.
Применим эту формулу к выражению $ \sin(\frac{\pi}{6} + \alpha) $:$$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \cos\frac{\pi}{6}\sin\alpha $$Подставим известные значения $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $:$$ \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha $$Теперь подставим результат в исходное выражение знаменателя и упростим его:$$ \begin{aligned}& \quad 2\left(\frac{1}{2}\cos\alpha + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha\right) - \sqrt{3}\sin\alpha \\&= \cos\alpha + \sqrt{3}\sin\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha \\&= \cos\alpha\end{aligned} $$Таким образом, знаменатель равен $ \cos\alpha $.

3. Конечное преобразование.

Подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в левую часть исходного тождества:$$ \frac{-\sqrt{2}\sin\alpha}{\cos\alpha} $$Используя основное тригонометрическое соотношение $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $, получаем:$$ -\sqrt{2} \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\sqrt{2}\tan\alpha $$

В результате преобразований мы показали, что левая часть тождества равна его правой части:$$ -\sqrt{2}\tan\alpha = -\sqrt{2}\tan\alpha $$Следовательно, тождество доказано.