Номер 1.436, страница 138 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.436*. Найдите $\text{tg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$, если известно, что $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

Для нахождения значения выражения $\tg\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$ воспользуемся формулой тангенса разности:

$$ \tg(x - y) = \frac{\tg x - \tg y}{1 + \tg x \cdot \tg y} $$

Применим эту формулу для нашего случая, подставив $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$:

$$ \tg\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{\tg\frac{\pi}{4} - \tg\alpha}{1 + \tg\frac{\pi}{4} \cdot \tg\alpha} $$

Зная, что $\tg\frac{\pi}{4} = 1$, мы можем упростить выражение:

$$ \tg\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \tg\alpha}{1 + \tg\alpha} $$

Следующим шагом является нахождение значения $\tg\alpha$. По условию задачи, $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ и угол $\alpha$ принадлежит интервалу $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, что соответствует второй координатной четверти.

Во второй четверти значения синуса положительны, а косинуса и тангенса — отрицательны.

Найдем $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$$ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} $$

Следовательно, $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{5}} = \pm\frac{1}{\sqrt{5}}$. Поскольку угол $\alpha$ находится во второй четверти, $\cos\alpha$ имеет отрицательное значение:

$$ \cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} $$

Теперь вычислим $\tg\alpha$ по определению $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$$ \tg\alpha = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{-\frac{1}{\sqrt{5}}} = -2 $$

Наконец, подставим найденное значение $\tg\alpha = -2$ в нашу формулу:

$$ \tg\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - (-2)}{1 + (-2)} = \frac{1 + 2}{1 - 2} = \frac{3}{-1} = -3 $$

Ответ: -3