Номер 1.440, страница 139 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.440. Составьте план и решите уравнение:

a) $sin x \cos \frac{x}{2} = -\sin \frac{x}{2} \cos x;$

б) $\sin 5x \cos x - \cos 5x \sin x = \frac{1}{2};$

в) $\frac{\text{tg} 5x - \text{tg} 2x}{1 + \text{tg} 5x \text{tg} 2x} = 1.$

а) $ \sin x \cos\frac{x}{2} = -\sin\frac{x}{2}\cos x $

План решения:

1. Перенести все слагаемые в левую часть уравнения.
2. Применить тригонометрическую формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $.
3. Решить полученное простейшее тригонометрическое уравнение.

Решение:
Перенесём все члены уравнения в левую часть:
$ \sin x \cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos x = 0 $
Левая часть уравнения представляет собой формулу синуса суммы, где $ \alpha = x $ и $ \beta = \frac{x}{2} $. Применим эту формулу:
$ \sin(x + \frac{x}{2}) = 0 $
$ \sin(\frac{3x}{2}) = 0 $
Это простейшее тригонометрическое уравнение, решения которого находятся по формуле:
$ \frac{3x}{2} = \pi k $, где $ k \in Z $.
Выразим $ x $:
$ 3x = 2\pi k $
$ x = \frac{2\pi k}{3} $

Ответ: $ x = \frac{2\pi k}{3}, k \in Z $.

б) $ \sin 5x \cos x - \cos 5x \sin x = \frac{1}{2} $

План решения:

1. Распознать в левой части уравнения формулу синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $.
2. Применить эту формулу для упрощения уравнения.
3. Решить полученное простейшее тригонометрическое уравнение.

Решение:
Левая часть уравнения является развернутой формулой синуса разности, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = x $. Свернем выражение:
$ \sin(5x - x) = \frac{1}{2} $
$ \sin(4x) = \frac{1}{2} $
Общее решение уравнения $ \sin t = a $ ($|a| \le 1$) имеет вид $ t = (-1)^n \arcsin a + \pi n $, где $ n \in Z $.
Применяя эту формулу, получаем:
$ 4x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n $
Так как $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $, то:
$ 4x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $
Разделим обе части на 4, чтобы выразить $ x $:
$ x = (-1)^n \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4} $

Ответ: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{4}, n \in Z $.

в) $ \frac{\tg 5x - \tg 2x}{1 + \tg 5x \tg 2x} = 1 $

План решения:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) для тангенсов в уравнении.
2. Применить формулу тангенса разности: $ \tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta} $.
3. Решить полученное простейшее тригонометрическое уравнение $ \tg(3x) = 1 $.
4. Проверить найденные решения на соответствие ОДЗ и исключить посторонние корни.

Решение:
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования тангенсов:
$ \cos(5x) \neq 0 \implies 5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in Z $
$ \cos(2x) \neq 0 \implies 2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z $
Левая часть уравнения представляет собой формулу тангенса разности, где $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 2x $.
$ \tg(5x - 2x) = 1 $
$ \tg(3x) = 1 $
Решения этого уравнения имеют вид:
$ 3x = \arctan(1) + \pi k $
$ 3x = \frac{\pi}{4} + \pi k $
$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in Z $.
Теперь проверим эти решения на соответствие ОДЗ.
1) $ \cos(5x) \neq 0 $. Подставим наше решение: $ 5x = 5(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}) = \frac{5\pi}{12} + \frac{5\pi k}{3} $. Условие $ 5x = \frac{\pi}{2} + \pi m $ приводит к уравнению $ 4(5k-3m)=1 $, которое не имеет решений в целых числах. Значит, $ \cos(5x) $ никогда не равен нулю для наших $ x $.
2) $ \cos(2x) \neq 0 $. Подставим наше решение: $ 2x = 2(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} $. Проверим, может ли это выражение равняться $ \frac{\pi}{2} + \pi n $.
$ \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n $
$ \frac{1}{6} + \frac{2k}{3} = \frac{1}{2} + n $ (умножим на 6)
$ 1 + 4k = 3 + 6n \implies 4k - 6n = 2 \implies 2k - 3n = 1 $.
Это уравнение имеет решения в целых числах (например, $ k=2, n=1 $). Это означает, что для тех $ k $, которые удовлетворяют этому уравнению, $ \cos(2x) $ обращается в ноль. Эти значения $ k $ нужно исключить. Из $ 2k = 1 + 3n $ следует, что $ k $ должно быть таким, что $ k = 3j-1 $ для некоторого целого $ j $.
Значит, из всех целых $ k $ мы должны исключить те, которые при делении на 3 дают в остатке 2 (или -1). Допустимыми остаются $ k $, которые делятся на 3 ($ k=3j $) или дают остаток 1 ($ k=3j+1 $).
Рассмотрим эти два случая для $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} $:
- Если $ k = 3j $: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi (3j)}{3} = \frac{\pi}{12} + \pi j $.
- Если $ k = 3j+1 $: $ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi (3j+1)}{3} = \frac{\pi}{12} + \pi j + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 4\pi}{12} + \pi j = \frac{5\pi}{12} + \pi j $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{12} + \pi j, \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi j, \quad j \in Z $.