Номер 1.463, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.463. Упростите выражение $\frac{(a^3)^{-2} \cdot (a^{-7})^{-1}}{(a^{-2})^{-2} : (a^{-1})^4}$

Для упрощения выражения необходимо последовательно выполнить действия в числителе и знаменателе, используя свойства степеней:

• При возведении степени в степень, показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• При умножении степеней с одинаковым основанием, их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• При делении степеней с одинаковым основанием, из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Разберем выражение по шагам:

1. Упрощение числителя $(a^3)^{-2} \cdot (a^{-7})^{-1}$

Сначала применяем правило возведения степени в степень к каждому множителю:

$(a^3)^{-2} = a^{3 \cdot (-2)} = a^{-6}$

$(a^{-7})^{-1} = a^{(-7) \cdot (-1)} = a^{7}$

Теперь перемножаем полученные результаты:

$a^{-6} \cdot a^{7} = a^{-6 + 7} = a^1 = a$

Таким образом, числитель равен $a$.

2. Упрощение знаменателя $(a^{-2})^{-2} : (a^{-1})^4$

Сначала применяем правило возведения степени в степень к делимому и делителю:

$(a^{-2})^{-2} = a^{(-2) \cdot (-2)} = a^4$

$(a^{-1})^4 = a^{(-1) \cdot 4} = a^{-4}$

Теперь выполняем деление:

$a^4 : a^{-4} = a^{4 - (-4)} = a^{4+4} = a^8$

Таким образом, знаменатель равен $a^8$.

3. Итоговое упрощение

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя обратно в дробь и выполним деление:

$\frac{a}{a^8} = \frac{a^1}{a^8} = a^{1-8} = a^{-7}$

Это и есть конечный результат упрощения.

Итоговый ответ: Ответ: $a^{-7}$