Номер 1.356, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.356. Используйте способ разложения на множители и решите уравнение:

a) $(\cos x + 0,5)(\cos x - 1) = 0;$

б) $2\sin \frac{x}{2} = 3\sin^2 \frac{x}{2};$

в) $3\tan^2 \frac{x}{4} - 9 = 0;$

г) $1 - 4\sin^2 x = 0;$

д) $9\cos x = \sin^2 x \cos x;$

е) $\sin x = \cos 2x \sin x.$

а) $(\cos x + 0,5)(\cos x - 1) = 0$

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Это возможно только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем совокупность двух уравнений:

$\cos x + 0,5 = 0$ или $\cos x - 1 = 0$

Решим каждое уравнение отдельно:

1. $\cos x = -0,5$

   Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его решения находятся по формуле:

   $x = \pm \arccos(-0,5) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

   Так как $\arccos(-0,5) = \pi - \arccos(0,5) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$, то получаем:

   $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $\cos x = 1$

   Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решения:

   $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединяя найденные серии решений, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\sin\frac{x}{2} = 3\sin^2\frac{x}{2}$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и вынесем общий множитель за скобки.

$3\sin^2\frac{x}{2} - 2\sin\frac{x}{2} = 0$

$\sin\frac{x}{2} \left(3\sin\frac{x}{2} - 2\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$\sin\frac{x}{2} = 0$ или $3\sin\frac{x}{2} - 2 = 0$

Решим каждое уравнение:

1. $\sin\frac{x}{2} = 0$

   $\frac{x}{2} = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

   $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $3\sin\frac{x}{2} - 2 = 0 \implies \sin\frac{x}{2} = \frac{2}{3}$

   $\frac{x}{2} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

   $x = 2(-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = 2(-1)^n \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $3\text{tg}^2\frac{x}{4} - 9 = 0$

Сначала выразим $\text{tg}^2\frac{x}{4}$:

$3\text{tg}^2\frac{x}{4} = 9$

$\text{tg}^2\frac{x}{4} = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\text{tg}\frac{x}{4} = \pm\sqrt{3}$

Это дает нам два случая, которые можно объединить в одну формулу:

$\frac{x}{4} = \pm \arctan(\sqrt{3}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{4} = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \pm \frac{4\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Дробь $\frac{4}{3}$ является неправильной. Выделим целую часть: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $x = \pm \mathbf{1}\frac{1}{3}\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $1 - 4\sin^2 x = 0$

Левую часть уравнения можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$1^2 - (2\sin x)^2 = 0$

$(1 - 2\sin x)(1 + 2\sin x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$1 - 2\sin x = 0$ или $1 + 2\sin x = 0$

Решим каждое уравнение:

1. $\sin x = \frac{1}{2}$

   $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $\sin x = -\frac{1}{2}$

   $x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений можно объединить в одну более компактную форму:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) $9\cos x = \sin^2 x \cos x$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$9\cos x - \sin^2 x \cos x = 0$

$\cos x (9 - \sin^2 x) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$\cos x = 0$ или $9 - \sin^2 x = 0$

Решим каждое из них:

1. $\cos x = 0$

   $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $9 - \sin^2 x = 0 \implies \sin^2 x = 9$

   $\sin x = \pm 3$

   Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, это уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, решения исходного уравнения — это только решения первого уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

е) $\sin x = \cos 2x \sin x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$\sin x - \cos 2x \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (1 - \cos 2x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$\sin x = 0$ или $1 - \cos 2x = 0$

Решим каждое уравнение:

1. $\sin x = 0$

   $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2. $1 - \cos 2x = 0 \implies \cos 2x = 1$

   Это частный случай, решения которого:

   $2x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

   $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Обе серии решений совпадают. Поэтому общим решением является $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.