Номер 1.352, страница 114 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.352. Найдите все корни уравнения:

a) $tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}};

б) $ctg x = -\frac{\sqrt{3}}{3};

в) $tg\left(\frac{x}{8} - \frac{\pi}{3}\right) = 1;

г) $tg \frac{x}{3} = 7;

д) $ctg 5x = 2;

е) $tg\left(x + \frac{\pi}{10}\right) = 0.

а) Решение уравнения $\text{tg}x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Общая формула для нахождения корней уравнения $\text{tg}x = a$ имеет вид $x = \text{arctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Находим значение арктангенса: $\text{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\text{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$.

Подставляя это значение в общую формулу, получаем все корни уравнения.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Решение уравнения $\text{ctg}x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Общая формула для нахождения корней уравнения $\text{ctg}x = a$ имеет вид $x = \text{arcctg}(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Находим значение арккотангенса, используя свойство $\text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg}(a)$:

$\text{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \text{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Подставляя это значение в общую формулу, получаем все корни уравнения.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Решение уравнения $\text{tg}\left(\frac{x}{8} - \frac{\pi}{3}\right) = 1$

Сначала найдем аргумент тангенса. Если $\text{tg}(t) = 1$, то $t = \text{arctg}(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{x}{8} - \frac{\pi}{3}$. Приравниваем выражения:

$\frac{x}{8} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \pi n$

Выражаем $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$\frac{x}{8} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{3\pi + 4\pi}{12} + \pi n = \frac{7\pi}{12} + \pi n$

Теперь умножим обе части на 8:

$x = 8 \left(\frac{7\pi}{12} + \pi n\right) = \frac{56\pi}{12} + 8\pi n$

Сокращаем дробь $\frac{56}{12}$ на 4, получаем $\frac{14}{3}$. Таким образом, $x = \frac{14\pi}{3} + 8\pi n$.

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{14}{3}$: $14 \div 3 = 4$ с остатком $2$, значит $\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$.

Ответ: $x = 4\frac{2}{3}\pi + 8\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Решение уравнения $\text{tg}\frac{x}{3} = 7$

По общей формуле для тангенса, $\frac{x}{3} = \text{arctg}(7) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = 3(\text{arctg}(7) + \pi n) = 3\text{arctg}(7) + 3\pi n$.

Ответ: $x = 3\text{arctg}(7) + 3\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

д) Решение уравнения $\text{ctg}5x = 2$

По общей формуле для котангенса, $5x = \text{arcctg}(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{\text{arcctg}(2) + \pi n}{5} = \frac{1}{5}\text{arcctg}(2) + \frac{\pi n}{5}$.

Ответ: $x = \frac{1}{5}\text{arcctg}(2) + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

е) Решение уравнения $\text{tg}\left(x + \frac{\pi}{10}\right) = 0$

Тангенс равен нулю, когда его аргумент равен $\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x + \frac{\pi}{10} = \pi n$

Выражаем $x$, перенося $\frac{\pi}{10}$ в правую часть:

$x = \pi n - \frac{\pi}{10}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{10} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.