Номер 1.345, страница 113 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.345. Найдите нули функции $f(x)=2\cos\left(\frac{\pi}{12}-5x\right)-1$.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $f(x) = 2\cos(\frac{\pi}{12} - 5x) - 1$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.

Запишем уравнение:

$2\cos(\frac{\pi}{12} - 5x) - 1 = 0$

Для удобства решения воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$. Аргумент косинуса можно представить в виде:

$\cos(\frac{\pi}{12} - 5x) = \cos(-(5x - \frac{\pi}{12})) = \cos(5x - \frac{\pi}{12})$

Перепишем уравнение с новым аргументом:

$2\cos(5x - \frac{\pi}{12}) - 1 = 0$

Теперь выразим косинус, перенеся -1 в правую часть и разделив обе части на 2:

$2\cos(5x - \frac{\pi}{12}) = 1$

$\cos(5x - \frac{\pi}{12}) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение вида $\cos(t) = a$. Его общее решение находится по формуле $t = \pm\arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (n - любое целое число).

В нашем случае $t = 5x - \frac{\pi}{12}$ и $a = \frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

Подставив эти значения в общую формулу, получаем:

$5x - \frac{\pi}{12} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Теперь необходимо рассмотреть два случая, соответствующие знакам "+" и "-".

Случай 1 (со знаком "+"):

$5x - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{12}$ в правую часть:

$5x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$5x = \frac{4\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

$5x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{1}{5} \left( \frac{5\pi}{12} + 2\pi n \right)$

$x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{5}$

Случай 2 (со знаком "-"):

$5x - \frac{\pi}{12} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Аналогично выразим $x$:

$5x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$5x = -\frac{4\pi}{12} + \frac{\pi}{12} + 2\pi n$

$5x = -\frac{3\pi}{12} + 2\pi n$

$5x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{1}{5} \left( -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \right)$

$x = -\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi n}{5}$

Таким образом, мы получили две серии решений, которые и являются нулями данной функции.