Номер 1.340, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.340. Верно ли, что уравнения $2x - 12 = 0$ и $\frac{x^2 - 36}{x - 6} = 0$ равносильны?

Для того чтобы определить, являются ли уравнения равносильными, необходимо найти множества их решений. Уравнения считаются равносильными, если множества их решений полностью совпадают.

Рассмотрим первое уравнение:

$2x - 12 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x = 12$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{12}{2}$

$x = 6$

Таким образом, множество решений первого уравнения состоит из одного числа: $\{6\}$.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$\frac{x^2 - 36}{x - 6} = 0$

Это дробно-рациональное уравнение. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 36 = 0 \\ x - 6 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$(x - 6)(x + 6) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 6$ и $x_2 = -6$.

Теперь проверим эти корни на соответствие второму условию системы: $x - 6 \neq 0$, то есть $x \neq 6$.

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет этому условию, так как при $x=6$ знаменатель дроби обращается в ноль. Следовательно, $x=6$ является посторонним корнем.

Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет условию, так как $-6 - 6 = -12 \neq 0$.

Таким образом, множество решений второго уравнения состоит из одного числа: $\{-6\}$.

Сравнивая множества решений, мы видим, что множество решений первого уравнения ($\{6\}$) не совпадает с множеством решений второго уравнения ($\{-6\}$).

Верно ли, что уравнения равносильны? Ответ: Нет, неверно. Уравнения не являются равносильными, поскольку их множества решений различны.