Номер 1.333, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.333. Разложите на множители:

а) $7a^2 - a$;

б) $4m^2 - 9n^2$;

в) $b^3 - b^2 + b - 1$;

г) $x^2 - 6x + 8$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $7a^2 - a$, необходимо найти общий множитель для каждого члена выражения. В данном случае, оба члена, $7a^2$ и $-a$, содержат множитель $a$. Вынесем его за скобки.
$7a^2 - a = a \cdot 7a - a \cdot 1 = a(7a - 1)$
Ответ: $a(7a - 1)$

б) Выражение $4m^2 - 9n^2$ является разностью квадратов. Для его разложения используется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В нашем случае, $A^2 = 4m^2 = (2m)^2$, значит $A = 2m$.
И $B^2 = 9n^2 = (3n)^2$, значит $B = 3n$.
Применяя формулу, получаем:
$4m^2 - 9n^2 = (2m)^2 - (3n)^2 = (2m - 3n)(2m + 3n)$
Ответ: $(2m - 3n)(2m + 3n)$

в) Для разложения многочлена $b^3 - b^2 + b - 1$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем первые два члена и последние два члена:
$(b^3 - b^2) + (b - 1)$
Из первой группы вынесем общий множитель $b^2$:
$b^2(b - 1) + (b - 1)$
Теперь мы видим, что $(b - 1)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:
$(b - 1)(b^2 + 1)$
Ответ: $(b - 1)(b^2 + 1)$

г) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - 6x + 8$, нужно найти два числа, произведение которых равно свободному члену (8), а сумма — коэффициенту при $x$ (-6).
Пусть эти числа $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета:
$x_1 \cdot x_2 = 8$
$x_1 + x_2 = 6$ (обратите внимание, что в теореме Виета сумма корней равна $-p$, то есть $-(-6)=6$)
Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.
$2 \cdot 4 = 8$
$2 + 4 = 6$
Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$. Поскольку $a=1$, получаем:
$x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4)$
Ответ: $(x - 2)(x - 4)$