Номер 1.327, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.327. Выберите последовательность действий и найдите значение вы-

ражения:

а) $ \text{arcctg}\left(\text{tg}\frac{\pi}{6}\right); $

б) $ \text{arccos}\left(\text{ctg}\frac{\pi}{4}\right); $

в) $ \text{arcsin}\left(\frac{1}{2}\text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right); $

г) $ \text{arctg}(2\text{sin}3\pi). $

а) $arcctg(\tg(\frac{\pi}{6}))$

Для решения данного выражения необходимо выполнить действия по порядку, начиная с внутренней функции.

1. Найдем значение тангенса: $\tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. Теперь подставим это значение в исходное выражение: $arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
3. По определению арккотангенса, $arcctg(a)$ — это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$. Нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\ctg(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
4. Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что $\ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$.

Следовательно, $arcctg(\tg(\frac{\pi}{6})) = arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

б) $arccos(\ctg(\frac{\pi}{4}))$

1. Сначала вычислим значение котангенса: $\ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$.
2. Подставим полученное значение в выражение: $arccos(1)$.
3. По определению арккосинуса, $arccos(a)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $a$. Нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = 1$.
4. Единственный угол из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен 1, это $\alpha = 0$.

Следовательно, $arccos(\ctg(\frac{\pi}{4})) = arccos(1) = 0$.

Ответ: 0.

в) $arcsin(\frac{1}{2}\tg(-\frac{\pi}{3}))$

1. Вычислим значение выражения в скобках. Функция тангенса является нечетной, поэтому $\tg(-x) = -\tg(x)$.
   $\tg(-\frac{\pi}{3}) = -\tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
2. Теперь умножим результат на $\frac{1}{2}$:
   $\frac{1}{2} \cdot (-\sqrt{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
3. Нам нужно найти $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
4. По определению арксинуса, $arcsin(a)$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Функция арксинуса также нечетная, $arcsin(-a) = -arcsin(a)$.
   $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
5. Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значит, $arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
6. Таким образом, $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

г) $arctg(2\sin(3\pi))$

1. Сначала вычислим значение выражения в скобках. Найдем $\sin(3\pi)$.
2. Функция синуса имеет период $2\pi$, поэтому $\sin(3\pi) = \sin(2\pi + \pi) = \sin(\pi)$.
3. Значение $\sin(\pi) = 0$.
4. Теперь вычислим аргумент арктангенса: $2 \cdot \sin(3\pi) = 2 \cdot 0 = 0$.
5. Нам нужно найти $arctg(0)$.
6. По определению арктангенса, $arctg(a)$ — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Нам нужно найти угол $\alpha$, для которого $\tg(\alpha) = 0$.
7. В интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ этому условию удовлетворяет только угол $\alpha = 0$.

Следовательно, $arctg(2\sin(3\pi)) = arctg(0) = 0$.

Ответ: 0.